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Bonjour,

f(x) = (x² + x + 3)/(2x - 1)

1) 2x - 1 ≠ 0 ⇒ Df = R /{1/2}

f'(x) = [(2x + 1)(2x - 1) - 2(x² + x + 3)}/(2x - 1)²

= (4x² - 1 - 2x² - 2x - 6)/(2x - 1)²

= (2x² - 2x - 7)/(2x - 1)²

2) Signe de f'(x) = Signe de (2x² - 2x - 7)

Δ = (-2)² - 4x2x(-7) = 4 + 56 = 60 = 4x15 = (2√15)²

donc 2 racine : x₁ = (2 - 2√15)/4 = (1 - √15)/2    (≈ -1,44)

et x₂ = (1 + √15)/2    (≈ 2,44)

x      -∞                 x₁             1/2              x₂             +∞

f'(x)              +        0      -       ||       -        0      +

f(x)        crois.            décrois.    décrois.       crois.

3) f(3) = (3² + 3 + 3)(2x3 - 1) = 18/6 = 3

f'(3) = (2x3² - 2x3 - 7)/(2x3 - 1)² = 5/25 = 1/5

Tgte à la courbe Cf au point d'abscisse x = 3 :

y = f'(3)(x - 3) + f(3)

soit y = 1/5(x - 3) + 3

⇔ y = x/5 + 12/5

f(x) = (x² + x + 3) / (2x - 1)

Domaine de définition = IR - { 1/2 } car x = 0,5 rendrait le dénominateur NUL !

Dérivons : f ' (x) = [ (2x-1)(2x+1) - (x²+x+3)*2 ] / (2x-1)²

                         = [ 4x² - 1 - 2x² - 2x - 6 ] / (2x-1)²

                         = [ 2x² - 2x - 7 ] / (2x-1)²

cherchons les valeurs pour lesquelles la dérivée est nulle :

2x² - 2x - 7 = 0 donne x² - x - 3,5 = 0 donc Δ = 1 + 14 = 15

                                                            d' où x = 0,5*(1-√15)   OU   x = 0,5*(1+√15)

                                                                     x ≈ -1,4365         OU   x ≈ 2,4365

Tableau :

x -->         -∞         -3        -1,44       0        0,5        1          2,44          3       +∞

f'(x) -->                  +             0                    -                          0    +    0,2   +

f(x) -->     -∞         -1,3       -0,94    -3          II          5         2,94          3       +∞

cherchons l' équation de la Tangente au point ( 3 ; 3 ) :

y = 0,2x + constante devient 3 = 0,2*3 + c donc 3 = 0,6 + c d' où c = 2,4 .

L' équation de la Tangente cherchée est y = 0,2x + 2,4 .

il est surprenant qu' il n' y ait pas de question sur l' asymptote oblique ... et la position de la courbe par rapport à cette droite oblique ...