Réponse :

Bonjour

1) (NP) est parallèle à (BD)

Les points C , N et D et les points C , P et B sont alignés dans cet ordre

D'après le théorème de Thalès, on a : CP/CB = CN/CD

⇔ CP/4 = x/8 ⇔ CP = 4x/8 = x/2

2) Aire de MNCB = [(CN + BM) × BC]/2 = [(x + 8 -x) × 4]/2 = 16 cm²

3) Aire de CNP = (CN × CP)/2 = (x × x/2)/2 = x²/4 cm²

Aire de BMP = (BM × BP)/2 = [(8 - x)(4 - x/2)]/2 = (32 - 8x + x²/2)/2

Aire de MNP = Aire de MNCB - aire de CNP - aire de BMP

⇔ f(x) = 16 - x²/4 - (32 - 8x + x²/2)/2 = (64 - x² - 64 + 8x - x²) /4

⇔ f(x) = (-2x² + 8x)/4 = -x²/2 + 4x

4) a) f(x) = -x²/2 + 4x = -0,5(x² - 8x) = -0,5((x- 4)² - 16) = -0,5(x - 4)² + 8

    b) voir tableau de variation en pièce jointe

    c) L'aire de MNP est maximale pou x = 4, et elle vaut 8 cm²

5) f(x) = 3,5 ⇔ x = 1 ou x = 7