Bonjour pouvez vous m’aidez pour mon exercice je n’arrive pas à partir de la question 5.d) Merci d’avance
Exercice 1 Etude d'une suite récurrente
Après une étude de fréquentation, le responsable d'une parfumerie a estimé que chaque année, son magasin
conserve 70% de ses clients de l'année précédente et qu'il y a 240 nouveaux clients.
En 2015, le magasin comptait 1 800 clients.
1. Déterminer le nombre de clients en 2016.
On note ule nombre de clients du magasin de l'année 2015 + n.
2. Justifier que pour tout entier naturel n, n+1 = 0,7un+240 et u = 1800.
3. Calculer les valeurs de ₁, U₂.₂
4. A l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre de clients que l'on peut prévoir en 2019.
2019
On définit une nouvelle suite (v₁) et on pose, pour tout entier naturel n, vn = Un - 800.
5. a. Calculer vo, V₁ et v₂.
b. Montrer que pour tout entier naturel n, Vn+1 = 0,7%.
r=
c. En déduire que la suite (v) est géométrique et donner sa raison.
d. A l'aide de la question précédente, déterminer la formule explicite de (vn) (formule en fonction de n).
e. En déduire que pour tout n E N,
800+1000 x 0,7". C'est la formule explicite de (un).
f. Calculer 16.
A l'aide de la calculatrice, répondre aux questions suivantes :
6. Le magasin est dans une situation financière critique lorsque son nombre de clients passe en dessous de
900. Cela peut-il arriver? Justifier.
7. Le magasin est menacé de fermeture lorsque le nombre de ses clients passe en dessous de 800. Cela
peut-il arriver? Justifier.
Exercice 1 Etude d'une suite récurrente
Après une étude de fréquentation, le responsable d'une parfumerie a estimé que chaque année, son magasin
conserve 70% de ses clients de l'année précédente et qu'il y a 240 nouveaux clients.
En 2015, le magasin comptait 1 800 clients.
1. Déterminer le nombre de clients en 2016.
On note ule nombre de clients du magasin de l'année 2015 + n.
2. Justifier que pour tout entier naturel n, n+1 = 0,7un+240 et u = 1800.
3. Calculer les valeurs de ₁, U₂.₂
4. A l'aide de la calculatrice, déterminer le nombre de clients que l'on peut prévoir en 2019.
2019
On définit une nouvelle suite (v₁) et on pose, pour tout entier naturel n, vn = Un - 800.
5. a. Calculer vo, V₁ et v₂.
b. Montrer que pour tout entier naturel n, Vn+1 = 0,7%.
r=
c. En déduire que la suite (v) est géométrique et donner sa raison.
d. A l'aide de la question précédente, déterminer la formule explicite de (vn) (formule en fonction de n).
e. En déduire que pour tout n E N,
800+1000 x 0,7". C'est la formule explicite de (un).
f. Calculer 16.
A l'aide de la calculatrice, répondre aux questions suivantes :
6. Le magasin est dans une situation financière critique lorsque son nombre de clients passe en dessous de
900. Cela peut-il arriver? Justifier.
7. Le magasin est menacé de fermeture lorsque le nombre de ses clients passe en dessous de 800. Cela
peut-il arriver? Justifier.
Lista de comentários
Bonjour ,
1)
1800 x 0.7 + 240=1500 clients en 2016.
2)
Donc d'une année sur l'autre le nb de clients qui restent est multiplié par 70/100 soit 0.7, nb auquel il faut ajouter les 240 nouveaux.
Donc :
U(n+1)=U(n) x 0.7 + 240=0.7U(n)+240
3)
U(1)=1800 x 0.7+240=1500
U(2)=1500 x 0.7 +240 =1290
4)
2019-2015=4
La calculatrice donne 1040 environ.
5)
a)
V(0)=U(0)-800=1000
V(1)=U(1)-800=700
V(2)=U(2)-800=490
b)
V(n+1)=U(n+1)-800
Mais U(n+1)=U(n) x 0.7 +240 donc :
V(n+1)=U(n) x 0.7 +240-800
V(n+1)=U(n) x 0.7 -560
On met "0.7" en facteur :
V(n+1)=0.7[U(n)-800] ==> car 0.7 x 800=560
Mais U(n)-800=V(n) , donc :
V(n+1)=0.7V(n)
c)
Ce qui prouve que la suite (V(n)) est une suite géométrique de raison q=0.7 et de 1er terme V(0)=1000.
d)
On sait alors que :
V(n)=V(0) x q^n soit ici :
V(n)=1000 x 0.7^n
e)
Mais :
U(n)=V(n) +800 donc :
U(n)=800 + 1000 x 0.7^n
f)
2015+16=2031
U(16)=800 + 1000 x 0.7^16 ≈ 803 clients en 2031.
6)
U(6)=800 + 1000 x 0.7^6 ≈ 918
U(7)=800 + 1000 x 0.7^7 ≈ 882
2015+7=2022
Oui cela peut arriver en 2022.
7)
Non , cela ne peut pas arriver. Car :
U(n)=800 + 1000 x 0.7^n
lim 0.7^n=0 car : -1 < 0.7 < 1
n--->+∞
lim (1000x 0.7^n) = 1000 x 0=0
n--->+∞
lim (800 + 1000 x 0.7^n)=800+0=800
n--->+∞
Le nb de clients va tendre vers 800 sans jamais descendre au-dessous de ce nombre.