Réponse :

2) démontrer que ADB est un triangle rectangle

soit  O milieu de (AB) et O est le centre du cercle (C1)

on pose  ^A = β1   ;   ^B = β2   et  ^D = α

le triangle AOD est isocèle en O  car OA = OD (rayon du cercle C1)

donc ^ADO = ^A = β1

le triangle DBO est isocèle en O  car OB = OD

donc  ^BDO = ^B = β2

donc  α = ^D = ^ADO + ^BDO = β1 + β2

or la somme des angles dans un triangle = 180°

 α + β1 + β2 = 180°   or  β1+β2 = α

donc   α + α = 180° ⇔ 2 α = 180° ⇔ α = 180°/2 = 90°

Donc le triangle ADB est rectangle en D

3) démontrer que (BD) // (CE)

puisque le triangle AEC a pour côté le diamètre du cercle C2  donc le triangle AEC est rectangle en E

(CE) ⊥ (AD) et (BD) ⊥ (AD) donc (CE) // (BD)

4) calculer EC

puisque (CE) // (BD) donc d'après le th.Thalès

on a; AC/AB = CE/BD  ⇔ 6/10 = CE/5  ⇔ 10 x CE = 5 x 6 ⇔ CE = 30/10 = 3 cm

5) calculer AE

AE² = AC² - CE² = 36 - 9 = 27  ⇒ AE = √27 = 3√3 cm ≈ 5.2 cm

en déduire ED =2√3

ED = AD - AE = 5√3 - 3√3 = 2√3

or AD² = 100 - 25 = 75 ⇒ AD = √75 = 5√3

Explications étape par étape