propriétés

soit un trinôme ax² + bx + c défini dans R

(1) s'il a deux racines distinctes x₁ et x₂

il admet comme factorisation a(x - x₁)(x - x₂)

(2) s'il a deux racines égales x₁ = x₂

il admet comme factorisation a(x - x₁)²

(3) s'il na pas de racines, on ne peut pas factoriser

exercice

P(x) = ax² + bx + c

1) a vaut 2, les racines sont 1 et 4

d'après la propriété (1)    P(x) = 2(x - 1)(x - 4)

                                        P(x) = 2x² -10x + 8

2) a = 1   ;  il s'écrit   x² + bx + c

pour qu'il n'y ait pas de racines il faut que le discriminant soit négatif

Δ = b² - 4c    ; b² - 4c < 0    <=>  b²< 4c

il y a une infinité de possibilités

3) c = 3 racines 2 et 6

il admet comme factorisation a(x - 2)(x - 6)

le terme constant est a(-2)(-6) = 12a

on veut qu'il soit égal à 3

12a = 3

a = 1/4

P(x) = 1/4(x - 2)(x - 6)

P(x) = 1/4x² - 2x + 3

4)

une seule racine  b = 4

il admet comme factorisation a(x - 2)² =

                                                 a(x² - 4x + 4)

b = -4a

on veut que b = 4 soit -4a = 4

                                    a = -1

P'x) =  - x² + 4x - 4