1 - Pour placer les points A, B, C et D dans un repère orthonormé, nous pouvons utiliser les coordonnées données. Point A a pour coordonnées (-1,1), point B est l'image de A par la translation de vecteur u (6,4), donc ses coordonnées seront (-1+6,1+4) = (5,5). Point C est l'image de A par la translation de vecteur v (-6,9), donc ses coordonnées seront (-1-6,1+9) = (-7,10). Point D est l'image de A par la translation de vecteur u + v, donc ses coordonnées seront (-1+6-6,1+4+9) = (-1,14).

2 - Pour démontrer que ABDC est un parallélogramme, nous pouvons utiliser la propriété selon laquelle les diagonales d'un parallélogramme se coupent en leur milieu. En d'autres termes, si nous traceons les diagonales AC et BD, elles se coupent au milieu, ce qui prouve que ABDC est un parallélogramme.

3 - Il est difficile de conjecturer la nature d'un triangle sans plus d'informations sur ses côtés. Pour savoir si un triangle est équilatéral, isocèle ou scalène, nous devons connaître les longueurs de ses côtés.

4 - a) Pour déterminer les longueurs AB, AC et BC, nous pouvons utiliser la formule de distance entre deux points dans un repère orthonormé. La distance entre A et B est donnée par √((5-(-1))² + (5-1)²) = √(6² + 4²) = √(36 + 16) = √52. La distance entre A et C est donnée par √((-7-(-1))² + (10-1)²) = √(6² + 81) = √(36 + 81) = √117. La distance entre B et C est donnée par √((-7-5)² + (10-5)²) = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169.

b) En utilisant les longueurs des côtés déterminées dans l'étape précédente, nous pouvons déduire que le triangle ABC est scalène car aucun de ses côtés n'a la même longueur.

5 - Pour déterminer la nature du quadrilatère ABCD, nous pouvons utiliser les propriétés des parallélogrammes. Comme nous avons démontré dans l'étape 2 que ABDC est un parallélogramme, nous pouvons en déduire que ABCD est un parallélogramme.