Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape

1)

Volume=V=aire base *h

V=x²*h=10

Donc :

h=10/x²

2)

Aire de la base=x²

Coût de la base =5x²

Aire latérale=périmètre de la base *h=4x*h=4x(10/x²)=40/x

Coût des faces latérales=2*40/x=80/x

Coût total=C(x)=5x²+(80/x)

On réduit au même dénominateur :

C(x)=(5x³+80)/x

C(x)=5(x³+16)/x

3)

C(x) est de la forme : 5u/v avec :

u=x³+16 donc u '=3x²

v=x donc v '=1

C '(x)=5(3x³-x³-16)/x²

C '(x)=5(2x³-16)/x²=(10x³-80)/x²

C '(x)=10(x³-8)/x²

4)

C '(x) est donc du signe de : x³-8.

La fct cube est strictement croissante sur son intervalle de définition.

x³-8 > 0 pour x > 2. OK ?

Tableau de variation :

x-------->0.........................2.........................+inf

C (x)--->............-..............0..........+..................

C(x)--->.........D..............C(2)........C...............

D=flèche qui descend

C=flèche qui monte

C(2)=60

Le coût de fabrication est minimale pour x=2m et vaut alors 60 €.