bonjour puis- je avoir quelques éclaircissement sur les questions 2, 3 et 4
On se place dans un repère orthonormé (O; i; j ) et on considère les points I(3;0), J(0;2), B(4 0) et D(0;4).
1) Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure. Vous prendrez 2 cm pour 1 unité.
2) a) Déterminer une équation cartésienne des droites (DI) et(BJ) .
b) Démontrer qu’elles ne sont pas parallèles.
3) Déterminer alors leur point d’intersection que l’on nommera C .
4) Les points M , N et P sont les milieux respectifs des segments[OC] , [BD] et[IJ].
Démontrer que les points M , N et P sont alignés.
On se place dans un repère orthonormé (O; i; j ) et on considère les points I(3;0), J(0;2), B(4 0) et D(0;4).
1) Faire une figure que vous compléterez au fur et à mesure. Vous prendrez 2 cm pour 1 unité.
2) a) Déterminer une équation cartésienne des droites (DI) et(BJ) .
b) Démontrer qu’elles ne sont pas parallèles.
3) Déterminer alors leur point d’intersection que l’on nommera C .
4) Les points M , N et P sont les milieux respectifs des segments[OC] , [BD] et[IJ].
Démontrer que les points M , N et P sont alignés.
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Réponse :
2) a) déterminer une équation cartésienne des droites (DI) et (BJ)
soit M(x ; y) tel que les vecteurs DM et DI soient colinéaires c'est à dire que X'Y - Y'X = 0
vec(DI) = (3 ; - 4)
vec(DM) = (x ; y - 4)
⇔ - 4 x - (y - 4)*3 = 0 ⇔ - 4 x - 3 y + 12 = 0
vec(BJ) = (- 4 ; 2)
vec(BM) = (x - 4 ; y)
(x - 4)*2 - y *(- 4) = 0 ⇔ 2 x + 4 y - 8 = 0
b) démontrer qu'elles ne sont pas //
le vecteur directeur de la droite (DI) est vec(u) = (3 ; - 4)
// // // // // // (BJ) // vec(v) = (- 4 ; 2)
or vec(u) ≠ vec(v) donc les droites (DI) et (BJ) ne sont pas //
3) déterminer alors leur point d'intersection que l'on nommera C
(DI) : - 4 x - 3 y + 12 = 0 ⇔ y = - 4/3) x + 4
(BJ) : 2 x + 4 y - 8 = 0 ⇔ y = - 1/2) x + 2
⇔ - 4/3) x + 4 = - 1/2) x + 2 ⇔ - 4/3) x + 1/2) x = 2 - 4 ⇔ - 5/6) x = - 2
⇔ x = 12/5 et y = - 1/2)*12/5 + 2 = - 6/5 + 2 = 4/5
les coordonnées de C sont: C(12/5 ; 4/5)
4) démontrer que les points M , N et P sont alignés
M milieu de (OC) : M(6/5 ; 2/5)
N // // (BD) : N(2 ; 2)
P // // (IJ) : P(3/2 ; 1)
les vecteurs MP et PN sont colinéaires ssi x'y - y'x = 0
vec(MP) = ((3/2 - 6/5) ; (1 - 2/5)) = (3/10 ; 3/5)
vec(PN) = ((2 - 3/2) ; 2 - 1) = (1/2 ; 1)
1/2)*3/5 - 1*3/10 = 3/10 - 3/10 = 0 ; les vecteurs MP et PN sont colinéaires donc on en déduit que les points M, N et P sont alignés
Explications étape par étape