Réponse :

Explications étape par étape :

1) Aire du grand demi cercle  

   [tex]\frac{6^{2}*\pi }{2}[/tex][tex]\frac{6^{2}*\pi }{2}=\frac{36\pi }{2} =\frac{72\pi }{4}[/tex]

2) Aire des demis disques de rayon x/2 et (12-x)/2

[tex](\frac{x}{2} )^{2} *\pi *\frac{1}{2} =\frac{\pi x^{2} }{8}[/tex]

[tex](\frac{12-x}{2}) ^{2} *\pi *\frac{1}{2} =\pi (\frac{144-24x+x^{2} }{8} )[/tex]

On faite la somme

[tex]\frac{\pi x^{2} }{8}+\pi (\frac{144-24x+x^{2} }{8} )=\frac{\pi }{8} (x^{2} +144-24x+x^{2} )=\frac{\pi }{8} (2x^{2} +144-24x} )\\=\frac{\pi }{4}(x^{2} -12x+72)[/tex]

3) Aire hachurée

[tex]\frac{72\pi }{4} -\frac{\pi }{4}(x^{2} -12x+72)=\frac{\pi }4} (72 -x^{2} +12x -72) =\frac{\pi }{4} (12x-x^{2} )[/tex]

 S'(x) = [tex]\frac{\pi}{4} (12-2x)[/tex]

S'(x)>0      

[tex]\frac{\pi}{4} (12-2x)\geq 0\\12-2x\geq 0\\12\geq 2x\\6\geq x[/tex]

donc de 0 à 6 S(x) est croissante et de 6 à 12 S(x) est décroissante

L'aire est donc maximale pour x = 6

S(6)=π/4(12*6-6²) = π/4(72-36)= 9π cm² ≈ 28,27 cm²