Réponse :

Bonjour

1.

Les dimensions de la boite sont :

longueur: 24-2x

largeur  :  18 - 2x

hauteur : x

Le volume V(x) est :

V(x) = x(18-2x)(24-2x)

V(x) = (18x - 2x²)(24-2x)

V(x) = 432x - 36x² - 48x² + 4x³

V(x) = 4x³ - 84x² + 432x

2. pour 0 ≤ x ≤ 9 :

V'(x) = 4×3x² - 84×2x + 432×1

V'(x) = 12x² - 168x + 432  

3. Etudions le signe de V'(x)

Δ = b²-4ac

Δ=(-168)²-4×12×432

Δ = 7488

[tex]x_1=\frac{168-\sqrt{7488} }{24} =7-\sqrt{13} \approx 3,4\\\\x_2=\frac{168+\sqrt{7488} }{24} =7+\sqrt{13} \approx 10,6[/tex]

x   -- | 0               7-√13           9|

-------------------------------------------|

V'(x) |         +            0        -       |

-------------------------------------------|

       |         280+104√13           |    

V      |      [tex]\nearrow[/tex]                 [tex]\searrow[/tex]           |

       |  0                               0   |

4. V admet un maximum local de 280+104√13 en x = 7-√13

donc le volume de la boite est maximal pour x = 7-√13 cm soit environ 3,4 cm. Le volume est d'environ 655 cm³ (valeur par excès au cm³ près)

5. Pour x compris entre 0 et 9, le volume de la boite varie entre 0 et 655 cm³  donc il est possible de construire une boite de volume supérieur ou égal à 650 cm³. Néanmoins, son volume ne pourra pas dépasser 655 cm³.

A la calculatrice on obtient un volume supérieur ou égal à 650cm³ pour x compris entre 3,06 et 3,74 cm (valeurs arrondies à 10⁻² près)