Réponse :

Explications étape par étape :

Bonsoir

sur R

g(x) = x³ + 3x  - 4

g est une fonction dérivable sur R

donc g'(x) = 3x² + 3 = 3 (x² + 1)

or x² + 1 > 0 sur R

donc g'(x) > 0 sur R

tableau de variation de g

x           - ∞                                     + ∞

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g'                             +

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g                 croissante

Donc g est strictement croissante sur R

2) g(1) = (1)³ + 3(1)  - 4= 1 +3 - 4 = 0

signe de g

x  - ∞                     1                  + ∞

g                   -      ⊕          +

Conjecture

pour x > 1 la fonction g est positive

Pour x < 1 la fonction est négative

pour x = 1, g(1) = 0

f(x) = ( -2x³ + 4x²)/(x² + 1)

comme x² + 1 > 0, la fonction existe bien sur R

donc f est dérivable sur R

f est de la forme u/v

la fonction dérivée de u/ v est (u'v - uv')/v²

soit u(x) = -2x³ + 4x²

u'(x) = - 6x² + 8x

soit v(x) = x² + 1

v'(x) = 2x

donc la fonction dérivée u(x)/v(x) est

[u'(x) v(x) - u(x) v'(x)] /v²(x)

= [ (- 6x² + 8x)(x² + 1) - (-2x³ + 4x²) (2x) ]/(x² + 1)²

= [ - 6x⁴ - 6x² + 8x³ + 8x) - ( - 4x⁴ + 8x³)] / (x² + 1)²

=  [ - 6x⁴ - 6x² + 8x³ + 8x + 4x⁴ - 8x³] / (x² + 1)²

= [ - 2x⁴ - 6x² + 8 x ] / (x² + 1)²

donc f'(x) = [ - 2x⁴ - 6x² + 8x ] / (x² + 1)² = - 2x (x³ + 3x - 4)/ (x²+ 1)²

or g(x) = x³ + 3x - 4

donc f'(x) = - 2x × g(x) / (x² + 1)²

f(1) =

on a conjecturer que g(x) >0 si x> 1

et g(x) <0 si x < 1 et g(1) = 0

et (x² + 1)² > 0 sur R

donc tableau de signe de f

x    - ∞                           0                      1                              + ∞

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- 2x               +               ⊕         -                          -

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g(x)                -                              -         ⊕            +                                        

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f '                    -              ⊕           +         ⊕          -

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f              décroissante           croissante          décroissante

équation de tangente en a y=  f'(a) (x - a) + f(a)

en x = 1 on a f'(1) = 0

f(1) = ( -2(1)³ + 4(1)²)/((1)² + 1) = (-2 + 4) / 2= 2/2 = 1

f(x) - 2x = ( -2x³ + 4x²)/(x² + 1) - 2x = [  -2x³ + 4x² - 2x³ - 2x]/(x² + 1)

f(x) - 2x = {4x² - 2x] / (x² + 1) = - 2x(- 2x + 1)/(x² + 1)

en x = 0 il existe une tangente parallèle y = - 2x