Réponse:

1a.

u₁ = 5u₀/(2u₀+5)

u₁ = 5/(2+5)

u₁ = 5/7

1b.

u₁-u₀ = 5/7-1 = -2/7

u₂-u₁ = 5/9-5/7 = -10/63

La différence de 2 termes consécutifs n'est pas constante. La suite (uₙ) n'est pas arithmétique.

1c.

1/u₀ = 1 (= 5/5)

1/u₁ = 7/5

1/u₂ = 9/5

1/u₃ = 11/5

il semble qu'on passe alors d'un terme à l'autre en ajoutant 2/5.

2a.

vₙ+₁ - vₙ = 1/uₙ+₁ - 1/uₙ

vₙ+₁ - vₙ = (2uₙ+5)/5uₙ - 5/(5uₙ)

vₙ+₁ - vₙ = 2uₙ/5uₙ

vₙ+₁ - vₙ = 2/5 pour tout n

2b. La suite (vₙ) est arithmétique de raison 2/5 et de terme initiale v₀ = 1/u₀ = 1.

2c.

vₙ = 1 + (2/5)×n

pour tout n.

2d.

uₙ = 1/vₙ

uₙ = 1/(1+ 2n/5)

uₙ = 5/(5+2n) pour tout entier naturel n