Bonjour,

On pose x = d/g avec d > 0 et g > 0

L'expression devient alors :

x² + (1/x)² -3(x + (1/x)) + 4

Or x² + 1/x² = (x+1/x)² - 2

Donc l'expression devient :

(x+(1/x))² -3(x +(1/x)) + 4

On pose X = x + (1/x)

L'expression devient X² - 3X + 4

On étudie L'expression .

Elle a pour discriminant :

Δ = 9-8 = 1

Elle a donc pour racines :

X1 = (3+1)/2 = 2

X2 = (3-1)/2 = 1

Donc X² - 3X + 4 <= 0 pour X compris entre 1 et 2.

C'est à dire pour x + 1/x compris entre 1 et 2.

On étudie la fonction f(x) = x + 1/x

Elle est dérivable sur ]0;+∞[

f'(x) = 1 - 1/x²

Pour x ∈ ]0;1], 1 <= 1/x² donc -1/x² <= -1 donc - 1/x² + 1 <= 0

Pour x ∈ [1; +∞[; 1/x² <= 1 donc  -1/x² >= -1  donc - 1/x² + 1 >= 0

f est décroissante sur ]0;1] et croissante sur [1;+∞[

Donc f atteint son minimum en 1 et f(1) = 2

Donc f(x) >= 2 sur ]0;+∞[

C'est à dire  x + 1/x >= 2 sur ]0;+∞[

Donc (x + 1/x)² - 3(x + 1/x) + 4 >= 0 sur ]0;+∞[

Or d et g appartiennent à ]0;+∞[, donc d/g appartient à ]0;+∞[.

Donc (d²/g²) + (g²/d²) - 3((d/g) + (g/d)) + 4 >= 0 pour tout nombre d et g positifs.