Explications étape par étape:

1) Pour déterminer l'équation de la droite (AB), il suffit de calculer la pente de la droite (AB) à partir des coordonnées des points A et B, puis de déterminer l'ordonnée à l'origine. La pente est donnée par :

m = (yB - yA) / (xB - xA) = (2 - 1) / (1 - 3) = -1/2

L'ordonnée à l'origine peut être calculée en utilisant l'équation de la droite y = mx + b et en remplaçant x et y par les coordonnées de l'un des points A ou B. Par exemple, en utilisant le point A, on a :

1 = (-1/2) * 3 + b

b = 5/2

Ainsi, l'équation de la droite (AB) est y = (-1/2)x + 5/2.

2a) Les vecteurs directeurs AB et AC des droites (AB) et (AC) sont respectivement :

AB = (xB - xA, yB - yA) = (1 - 3, 2 - 1) = (-2, 1)

AC = (2, 1)

Pour que ces deux vecteurs soient orthogonaux, leur produit scalaire doit être nul :

AB . AC = (-2, 1) . (2, 1) = -4 + 1 = -3

Comme le produit scalaire est non nul, les vecteurs AB et AC ne sont pas orthogonaux.

2b) On sait que le vecteur CA est orthogonal au vecteur AB, donc on peut le calculer en utilisant la formule du produit vectoriel :

CA = AB x (0, 0, 1) = (-2, 1, 0)

Le point C a donc pour coordonnées (x, y, z) telles que :

(x - 3, y - 1, z) = k(-2, 1, 0)

où k est un scalaire. En égalisant les deux premières composantes, on obtient :

x - 3 = -2k

y - 1 = k

En remplaçant k par y - 1 dans la première équation, on obtient :

x - 3 = -2(y - 1)

x - 3 = -2y + 2

x + 2y = 5

Ainsi, les coordonnées du point C sont (4/3, 4/3, 0) et l'équation de la droite (AC) est 2x - y - 5 = 0.

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Réponse:

1. L'équation de la droite (AB) est donnée par :

y - yA = [(yB - yA)/(xB - xA)](x - xA)

où (xA, yA) = (3, 1) et (xB, yB) = (1, 2).

Donc :

y - 1 = [(2 - 1)/(1 - 3)](x - 3)

y - 1 = (-1/2)(x - 3)

y - 1 = (-1/2)x + 3/2

y = (-1/2)x + 5/2

L'équation de la droite (AB) est donc y = (-1/2)x + 5/2.

2. a) Les vecteurs directeurs AB et AC sont respectivement :

AB = (xB - xA, yB - yA) = (1 - 3, 2 - 1) = (-2, 1)

AC = (2, 1)

Le produit scalaire de ces deux vecteurs est :

AB . AC = (-2)(2) + (1)(1) = -4 + 1 = -3

Comme le produit scalaire est non nul, les vecteurs AB et AC ne sont pas colinéaires. De plus, le produit scalaire étant négatif, les vecteurs AB et AC sont orthogonaux.

b) Soit C(xC, yC) le point d'intersection des droites (AB) et (AC).

Comme les vecteurs AB et AC sont orthogonaux, leur produit scalaire est nul :

AB . AC = (-2)(2) + (1)(1) = -4 + 1 = -3

Donc :

(xC - 3, yC - 1) . (2, 1) = 0

2(xC - 3) + (yC - 1) = 0

2xC - 5 = 0

xC = 5/2

En remplaçant xC dans l'équation de la droite (AB), on obtient :

yC = (-1/2)(5/2) + 5/2 = 1/2

Donc les coordonnées de C sont (5/2, 1/2).