12x² +x -6 <0 12 = (2√3)² 12x² +x est le début de (2√3x +1/4√3)²
(2√3 x + 1/4√3)² -6 -1/48 <0
(2√3 x + 1/4√3)² - ( 6×48 +1)/48 <0
48 ( 2√3 x + 1/4√3)² - 289 <0 ( j'ai multiplié les deux membres par 48>0 sans changer le sens de l'inégalité et pour faire disparaître le dénominateur du 2ème terme) d'autre part 48 =16 ×3 =( 4 √3)² et 289 = 17²
(4√3)² ( 2√3 x+1/4√3< 0 devient
(4√3 ×2√3 x + 4√3 √× 1/ 4√3)² -17² <0
(24 x +1)² -17² <0 je factorise cette expression avec le p remarquable A²-B²
[ (24x +1) +17] [ (24 x +1) -17] < 0
( 24 x +1+17) ( 24x +1-17) < 0
(24x +18) ( 24x -16) <0
le premier facteur s'annule pour x = -18/24 = -3/4
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12x² +x -6 <0 12 = (2√3)² 12x² +x est le début de (2√3x +1/4√3)²
(2√3 x + 1/4√3)² -6 -1/48 <0
(2√3 x + 1/4√3)² - ( 6×48 +1)/48 <0
48 ( 2√3 x + 1/4√3)² - 289 <0 ( j'ai multiplié les deux membres par 48>0 sans changer le sens de l'inégalité et pour faire disparaître le dénominateur du 2ème terme) d'autre part 48 =16 ×3 =( 4 √3)² et 289 = 17²
(4√3)² ( 2√3 x+1/4√3< 0 devient
(4√3 ×2√3 x + 4√3 √× 1/ 4√3)² -17² <0
(24 x +1)² -17² <0 je factorise cette expression avec le p remarquable A²-B²
[ (24x +1) +17] [ (24 x +1) -17] < 0
( 24 x +1+17) ( 24x +1-17) < 0
(24x +18) ( 24x -16) <0
le premier facteur s'annule pour x = -18/24 = -3/4
le deuxième facteur s'annule pour x = 16/24 = 2/3
tableau pour étudier le signe du produit
x -∞ -3/4 2/3 +∞
(24x+27) - 0 + + +
( 24x -16) - - 0 +
signe produit + 0 - 0 +
conclusion 2x² +x/6 -1 <0 si x ∈ ]-3/4 2/3[