bjr

1)

D est le symétrique de B par rapport à G donc G est le milieu de BD

CI est médiane, donc I est le milieu de AB

Dans le triangle DBA

G est le milieu du côté BD

I est le milieu du côté AB

la droite GI qui joint les milieux de 2 côtés est parallèle au 3e côté AD

C est sur la droite GI d'où

(CI) // (DA)

2)

de même dans le triangle CBD, J et G sont les milieux des côtés BC et BD

La droite GJ est parallèle au 3e côté DC

A est sur la droite GJ donc

(AG) // (DC)

puisque (CI) // (DA) et (AG) // (DC) le quadrilatère GADC qui a les côtés opposés parallèles deux à deux est un parallélogramme.

Dans ce parallélogramme les diagonales AC et DG se coupent en leur milieu. C'est le point O.

B est sur la droite DG. Cette droite BD passe par O milieu de [AC]

BD est la troisième médiane du triangle ABC, elle passe par le point de concours des deux autres : G

(les 3 médianes d'un triangle sont concourantes)

Montrer que BG = 2/3BO

DG = GB (symétrie)

DO = OG   diagonales parallélogramme

on a donc

GO = 1/2 BG

BO = BG + GO

     = BG + 1/2 BG

BO = 3/2 BG

d'où BG = 2/3 BO