(* désigne le nombre complexe conjugué) ------------------------------------------------------------------------------------------------------ Rappels de cours : [Équation complexe de droite] Soit z∈ℂ Soit une droite (d) d'équation ax+by = c, avec (a,b,c)∈ℝ On pose ω = a+ib ∈ℂ Donc l'équation complexe de (d) est ω*z+ωz* = 2c [Équation complexe de cercle] Soit z∈ℂ Soit un cercle (C) de centre ω = a+ib ∈ℂ et de rayon r∈ℝ Donc l'équation complexe de (d) est zz*-ω*z-ωz* = r²-|ω|² [Quelques règles opératoires] Soit (z,z')∈ℂ² (z+z')* = z*+z'* zz* = |z|² ------------------------------------------------------------------------------------------------------
Soit l'ensemble S des points M d'affixe z tels que |z-1| = |z-i| et |z-3-2i| = 2
Soit l'ensemble E des points M d'affixe z tels que |z-1| = |z-i| D'où |z-1|² = |z-i|² (z-1)(z-1)* = (z-i)(z-i)* (z-1)(z*-1) = (z-i)(z*+i) zz*-z-z*+1 = zz*+iz-iz*-i² -z-z*+1 = iz-iz*+1 -z-z* = iz-iz* -z-z*-iz+iz* = 0 (-1-i)z+(-1+i)z* = 0 -x+y = 0, avec (x,y)∈ℝ² y = x Donc E désigne la droite (d) d'équation y = x
Soit l'ensemble F des points M d'affixe z tels que |z-3-2i| = 2 D'où |z-3-2i|² = 2² (z-3-2i)(z*-3+2i) = 4 zz*-3z+2iz-3z*+9-6i-2iz*+6i-4i² = 4 zz*-3z+2iz-3z*+9-6i-2iz*+6i+4 = 4 zz*-3z+2iz-3z*-2iz*+13 = 4 zz*-(3-2i)z-(3+2i)z* = -9 Or |3+2i| = √(3²+2²) = √(9+4) = √13, d'où |3+2i|² = 13 D'où zz*-(3-2i)z-(3+2i)z* = 4-13 zz*-(3-2i)z-(3+2i)z* = 2²-|3+2i|² Donc F désigne le cercle (C) de centre d'affixe 3+2i et de rayon 2
D'où S = E∩F Donc S désigne uniquement les points d'intersection entre (d) et (C), donc S = {A,B} ≠ [AB]
Donc l'affirmation est fausse.
(Pour que l'affirmation soit vraie, il aurait fallu que S soit l'ensemble des points d'affixe z tels que |z-1| = |z-i| et |z-3-2i| ≤ 2)
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Geijutsu
Ca revient au même, et peut-être qu'ainsi tu comprendras le raisonnement
justine1704
oui je comprends mieux, mais je comprends toujours pas pourquoi tu as calculé le module de 3-2i... Enfin je veux dire, dans quel but?
justine1704
mais tu es sûr de toi? Parce que j'ai regardé sur des sites (juste pour vérifier) et ça me dit que l'affirmation est vraie parce que le segment AB appartient au disque
Geijutsu
Tu as une équation de droite et de cercle, et non pas de disque !
Geijutsu
Pour le but calcul du module de 3-2i, regarde bien mon rappel de cours sur l'équation complexe de cercle et compare avec mon raisonnement sur ton exercice pour bien comprendre ;)
Geijutsu
L'affirmation aurait été vraie uniquement dans le cas où |z-3-2i| ≤ 2 au lieu de |z-3-2i| = 2, car cela représenterait l'ensemble des points autour de celui d'affixe 3+2i a une distance maximale de 2 et donc là ça aurait été une équation de disque
Geijutsu
Mais dans ton énoncé, il s'agit d'une égalité, donc les points vérifiant |z-3-2i| = 2 sont les points autour de celui d'affixe 3+2i a une distance EXACTE de 2, ce qui représente un CERCLE.
Geijutsu
Et donc l'intersection entre une droite et un cercle est juste l'ensemble des points de la droite qui coupent le cercle, donc les points de la droite à l'intérieur du cercle ne font pas partie de l'intersection car ceux à l'intérieur ne coupent pas le cercle
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Bonjour,(* désigne le nombre complexe conjugué)
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Rappels de cours :
[Équation complexe de droite]
Soit z∈ℂ
Soit une droite (d) d'équation ax+by = c, avec (a,b,c)∈ℝ
On pose ω = a+ib ∈ℂ
Donc l'équation complexe de (d) est ω*z+ωz* = 2c
[Équation complexe de cercle]
Soit z∈ℂ
Soit un cercle (C) de centre ω = a+ib ∈ℂ et de rayon r∈ℝ
Donc l'équation complexe de (d) est zz*-ω*z-ωz* = r²-|ω|²
[Quelques règles opératoires]
Soit (z,z')∈ℂ²
(z+z')* = z*+z'*
zz* = |z|²
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Soit l'ensemble S des points M d'affixe z tels que |z-1| = |z-i| et |z-3-2i| = 2
Soit l'ensemble E des points M d'affixe z tels que |z-1| = |z-i|
D'où |z-1|² = |z-i|²
(z-1)(z-1)* = (z-i)(z-i)*
(z-1)(z*-1) = (z-i)(z*+i)
zz*-z-z*+1 = zz*+iz-iz*-i²
-z-z*+1 = iz-iz*+1
-z-z* = iz-iz*
-z-z*-iz+iz* = 0
(-1-i)z+(-1+i)z* = 0
-x+y = 0, avec (x,y)∈ℝ²
y = x
Donc E désigne la droite (d) d'équation y = x
Soit l'ensemble F des points M d'affixe z tels que |z-3-2i| = 2
D'où |z-3-2i|² = 2²
(z-3-2i)(z*-3+2i) = 4
zz*-3z+2iz-3z*+9-6i-2iz*+6i-4i² = 4
zz*-3z+2iz-3z*+9-6i-2iz*+6i+4 = 4
zz*-3z+2iz-3z*-2iz*+13 = 4
zz*-(3-2i)z-(3+2i)z* = -9
Or |3+2i| = √(3²+2²) = √(9+4) = √13, d'où |3+2i|² = 13
D'où zz*-(3-2i)z-(3+2i)z* = 4-13
zz*-(3-2i)z-(3+2i)z* = 2²-|3+2i|²
Donc F désigne le cercle (C) de centre d'affixe 3+2i et de rayon 2
D'où S = E∩F
Donc S désigne uniquement les points d'intersection entre (d) et (C), donc S = {A,B} ≠ [AB]
Donc l'affirmation est fausse.
(Pour que l'affirmation soit vraie, il aurait fallu que S soit l'ensemble des points d'affixe z tels que |z-1| = |z-i| et |z-3-2i| ≤ 2)