Coucou tout le monde! Je redemande parce que c'est important et que je n'ai pas eu de réponse, j'arrive pas trop l'exercice là de mon dm (type BAC), vous pourriez m'aider s'il vous plaît?
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Bonjour,Un+1 = 3Un/4 + 2 et U₀ = 12
A)
1) a)
U₀ = 12 donc U₀ ≥ 8
Supposons qu'au rang n, Un ≥ 8
Au rang (n+1) : 3Un/4 + 2 ≥ 3x8/4 + 2
⇔ Un+1 ≥ 8
Donc la propriété est héréditaire
⇒ Pour tout n ∈ N, Un ≥ 8
b) U₀ = 12
U₁ = 3x12/4 + 2 = 11
Donc au rang 0, U₁ ≤ U₀
On suppose qu'au rang n : U+1 ≤ Un
Au rang (n + 1) :
Un+2 = 3Un+1/4 + 2
⇒ Un+2/Un+1 = 3/4 + 2/Un+1
Or Un+1 ≥ 8.
Donc 2/Un+1 ≤ 2/8 ⇔ 2/Un+1 ≤ 1/4
⇒ Un+2/Un+1 ≤ 3/4 + 1/4
⇔ Un+2/Un+1 ≤ 1
⇔ Un+2 ≤ Un+1
⇒ propriété héréditaire ...
2) (Un) est donc décroissante et minorée par 8 ⇒ (Un) est convergente
B)
1) Vn = Un - l
en supposant l = 8 : Vn = Un - 8
⇒ Vn+1 = Un+1 - l
= 3Un/4 + 2 - 8
= 3Un/4 - 6
= (3Un - 24)/4
= 3(Un - 8)/4
= 3Vn/4
⇒ (Vn) suite géo de raison q = 3/4 et de premier terme V₀ = U₀ - 8 = 4
2) On en déduit : Vn = 4 x (3/4)ⁿ
donc Un = Vn + 8 = 4 x (3/4)ⁿ + 8
3) lim Un = lim [4 x (3/4)ⁿ + 8] = 8 car lim (3/4)ⁿ = 0