bonjour

f(x) = x³ - x                 ensemble de définition R      

1)

on calcule f(-x)

f(-x) = (-x)³ - (-x)

      = - (x³) + x              [ (-x)(-x)(-x) = -xxx = -(x³) ]

     = - (x³ -x)

    = - f(x)

pour tout x appartenant à R, -x appartient à R et

       f(-x) est l'opposé de f(x)

c'est la définition d'une fonction impaire

2)

factoriser

 f(x) = x³ - x = x³ - 1x

                   = x(x² - 1)          [x² - 1 = x² - 1²  différence de deux carrés ]

                  = x(x - 1)(x + 1)

tableau des signes

x            -∞               -1                  0                 1                   +∞

x                      -                  -         0        +                 +

x-1                   -                  -                    -        0       +

x+1                  -        0        +                   +                 +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

f(x)                 -         0         +         0        -        0        +

3)

f(x) = x³ - x

g(x) = x³ + x² - 2x

f(x) ≤ g(x)

x³ - x ≤ x³ + x² - 2x  <=>  - x ≤  + x² - 2x

                               <=>   x² - 2x + x ≥ 0

                               <=>   x² - x ≥ 0

                              <=>   x(x - 1) ≥ 0

x            -∞                   0                      1                     +∞

x                        -         0         +                      +

x-1                     -                     -            0        +

x(x-1)                 +          0        -                       +

                                      //////////////////

S = ]−∞ ; 0] ∪ [1 ; +∞[