b) p² est le double d'un nomber (pair ou impair) donc il est pair car tout double d'un nombre est pair.
c) p² est pair donc p est pair également car un nombre et son carré on même parité.
d) p est pair donc p est le double d'un nombre k donc il existe k tel que p = 2k.
or p² = 2 * q² (voir réponse a)
donc donc (2k)² = 2 * q²
donc 4k² = 2*q²
donc 2k² = q²
e) q² est pair (car c'est le double d'un nombre qui est k²) donc q est pair car q et q² ont la même parité.
f) p et q sont pairs or, sI une faction est irréductible, on a PGCD (p,q) = 1 donc les deux nombres ne peuvent par être pairs car on aurait dans ce cas PGCD (p,q) est différent de 1. Expliqué différemment, dans une faction irréductible, le numérateur et le dénominateur ne peuvent pas être pairs.
Donc l'hypothèse H est fausse (la fraction n'est pas irréductible).
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Réponse :
Explications étape par étape
Pour la partie 2:
a) On élève au carré à gauche et à droite:
donc p² = q² * 2
b) p² est le double d'un nomber (pair ou impair) donc il est pair car tout double d'un nombre est pair.
c) p² est pair donc p est pair également car un nombre et son carré on même parité.
d) p est pair donc p est le double d'un nombre k donc il existe k tel que p = 2k.
or p² = 2 * q² (voir réponse a)
donc donc (2k)² = 2 * q²
donc 4k² = 2*q²
donc 2k² = q²
e) q² est pair (car c'est le double d'un nombre qui est k²) donc q est pair car q et q² ont la même parité.
f) p et q sont pairs or, sI une faction est irréductible, on a PGCD (p,q) = 1 donc les deux nombres ne peuvent par être pairs car on aurait dans ce cas PGCD (p,q) est différent de 1. Expliqué différemment, dans une faction irréductible, le numérateur et le dénominateur ne peuvent pas être pairs.
Donc l'hypothèse H est fausse (la fraction n'est pas irréductible).