Explications étape par étape:

Bonjour,

Ex2:

1- Pour la construction, n'ayant pas de papier à disposition, je te laisse la faire.

2- Considérons les points M(xM ; yM), N(xN ; yN) et P(xP ; yP). Dans le repère (A, AB, AC), A est le centre du repère, il a donc pour coordonnées A(0;0). Ainsi, on peut déterminer les coordonnées des vecteurs AB, AC et BC.

Graphiquement : AB(xB ; yB) donc AB(6;0), AC(xC ; yC) donc AC(2;2) et BC(xC - xB ; yC - yB) donc BC(-4 ; 2).

A étant centre du repère, il suffit juste d'effectuer des opérations élémentaires sur les coordonnées, sans se soucier de A.

AM = (1/2)AC donc AM(1 ; 1) et M(1;1)

AN = (1/3)AB donc AN(2 ; 0) et N(2;0)

En revanche, pour CP, aucune difficulté, CP = BC(-4 ; 2). P est donc le symétrique de B par rapport à C. D'où xP - xC = xC - xB et yP - yC = yC - yB. Par conséquent : xP = 2xC - xB = - 2 et yP = 2yC - yB = 4. Finalement P(-2;4).

Il suffit à présent de prouver que MN, et NP sont colineaires. MN(xN-xM ; yN-yM) donc MN(1;-1). De même, NP(-4;4) = -4 MN, la colinéarité étant prouvée, M, N et P dont alignés.

3- a) Ici, il suffit d'utiliser les données de l'énoncé : Par Chasles, MN = MA + AN = - AM + AN = (-1/2)AC + (1/3)AB.

B) Même raisonnement à appliquer, néanmoins, en fournissant la décomposition, l'exercice devient juste algorithmique :

NP = NA + AC + CP = - AN + AC + CP

= - (1/3)AB + AC + BC

= - (1/3)AB + AC - AB + AC (par Chasles sur le vecteur BC)

= (-4/3)AB + 2AC.

C) En vertu des relations précédentes, on peut facilement déduire que NP = -4MN, qui concorde avec l'égalité obtenue à la question 2. Donc, M, N et P sont alignés.

4-a) Considérons la droite (MN). Alors la parallèle à (MN) passant par C, c'est simplement une translation de la droite (MN) sur le segment [AC]. M étant au milieu de [AC], si on le déplace au point C, on translate la droite de (1/2)AC.

Ainsi, si la parallèle à (MN) passant par C, coupe [AB] en I, alors on a une configuration permettant d'utiliser le théorème de Thalès.

Au sein des triangles AMN et ACI :

A, M et C sont alignés, de même que A, N et I.

Donc AM/AC = AN/AI. Or M milieu de [AC] donc AM / AC = 1/2. Ainsi, AN/AI = 1/2 d'où AI = 2AN.

Cela équivaut à dire que N est le milieu de [AI].

Cette égalité peut aussi se reecrire : AN = NI.

B) Ici, il faut être astucieux, on ne raisonne plus avec des "vecteurs" mais des longueurs.

Si AN = (1/3)AB alors AB = AN + NB d'où NB = AB - (1/3)AB = (2/3)AB.

Or, par la question précédente, AN = NI = (1/3)AB. Ainsi, NB = 2NI, d'où I milieu de [NB].

C) Ici, réciproque du théorème de Thalès. On considère les triangles BIC, et BNP (Paribas).

B, C et P sont alignés car BC = CP. De même, B, N et I sont alignés. Alors :

BI / BN = 1/2 car I milieu de [NB]. Par ailleurs, BC / BP = 1/2 car C milieu de [BP]. Les 2 rapports sont égaux, l'alignement est respecté, la réciproque du théorème de Thalès permet de conclure que (CI) et (PN) sont parallèles.

Or, on l'a vu, CI étant la parallèle de MN passant par C, CI parallèle à MN. Donc, MN parallèle à PN. Pour respecter cette condition, il faut que P soit aligné avec M et N, sinon, les droites seraient secantes.