Réponse :

montrer que cos (2 x) = cos² (x) - sin² (x)

cos (2 x) = cos (x + x) = cos (x) cos (x) - sin (x) sin (x) = cos²(x) - sin²(x)

on déduire que cos²(x) = [1 + cos (2 x)]/2

cos (2 x) = cos²(x) - sin²(x) = 2 cos²(x) - 1    or cos²(x) + sin²(x) = 1

Donc  cos²(x) = [1 + cos(2 x)]/2

2) A l'aide de cette formule, déterminer la valeur exacte de cos²(π/8)

cos²(π/8) = (1 + cos(2π/8))/2 = (1 + cos(π/4))/2    or cos(π/4) = (√2)/2

donc  cos²(π/8) = (1 + (√2)/2)/2 = ((2+√2)/2)/2 = (2+√2)/4

3) en déduire la valeur exacte de cos (π/8) puis de sin(π/8)

   cos(π/8) = √((2+√2)/4) = √(2+√2))/2

sin²(π/8) = 1 - (2+√2)/4 = (4 - 2 - √2)/4 = (2 - √2)/4

donc  sin(π/8) = (√(2-√2))/2

Explications étape par étape