Bonjour,j'ai un grand besoin d'aide pour cet exercice s'il vous plait:
Montrer que l'équation x(au cube)-(racine carré de 2x) +2=0 n'a pas de solution qui soit un nombre rationnel.
Un grand merci d'avance.Je suis complètement perdue.
Montrer que l'équation x(au cube)-(racine carré de 2x) +2=0 n'a pas de solution qui soit un nombre rationnel.
Un grand merci d'avance.Je suis complètement perdue.
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Bonjour,on va supposer qu'il existe p et q entiers relatifs, tels que p/q soit solution
Soit :
(p/q)^3 - V(2p/q) + 2 = 0 (1)
<=> (p/q)^3 + 2 = V(2p/q)
p/q étant rationnel, (p/q)^3 = p^3/q^3 l'est également, ainsi que (p/^q)^3 +2
Donc il faut que V(2p/q) soit rationnel
V(2p/q) = V(2) x V(p/q)
Pour que ce nombre soit rationnel, il faut donc que V(p/q) soit une puissance impaire de V(2), de sorte que V(2) x (V(2))^(2k+1) = (V(2))^(2k+2) = 2^(k+1)
Supposons donc qu'il existe k entier tel que :
V(p/q) = (V(2))^(2k+1)
==> p/q = 2^(2k+1) (p/q = x >= 0)
(1) devient :
(2^(2k+1))^3 - V(2x2^(2k+1)) = -2
<=> 2^(6k+3) - 2^(k+1) = -2
<=> 2^(k+1) [2^(5k+2) - 1 ] = -2
==> 2^(5k+2) -1 < 0 car 2^(k+1) toujours > 0
==> impossible
==> p et q n'existent pas
(Je pense qu'on peut faire plus joli et plus court ...)