Bonjour,je n'arrive pas à faire cette question, pouvez-vous m'aidez avec des réponses bien détaller .... Pergunta de ideia demoustaled

moustaled @moustaled

December 2020 1 81 Report

Bonjour,je n'arrive pas à faire cette question, pouvez-vous m'aidez avec des réponses bien détaller ;merci de m'aider.

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

Comme $M \in (d)$ , alors $M(x; 3x+4)$ , donc:

$AM=\sqrt{(x-2)^{2}+(3x+4-3)^{2}}=\sqrt{(x-2)^{2}+(3x+1)^{2}}\\AM=\sqrt{x^{2}-4x+4+9x^{2}+6x+1}=\sqrt{10x^{2}+2x+5}$

On note f(x)= $\sqrt{10x^{2}+2x+5}$ .

Vérifions que f, est définie pour tout $x \in \mathbb{R}$ , en montrant que $10x^{2}+2x+5 \geq 0$ , pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

On calcule le discriminant:

$\Delta=2^{2}-4 \times 10 \times 5=4-200=-196 < 0$

Comme le discriminant $\Delta < 0$ , le trinôme $10x^{2}+2x+5$ , est du signe de 10, donc positif pour tout $x \in \mathbb{R}$ .

Par suite, f est définie sur $\mathbb{R}$ .

Etudions les variations de f, en calculant sa dérivée f':

$\displaystyle f'(x)=\frac{20x+2}{2\sqrt{10x^{2}+2x+5}}$

Le dénominateur $2\sqrt{10x^{2}+2x+5} > 0$ , donc f'(x) est du signe du numérateur 20x+2.

On résout l'inéquation $20x+2 \geq 0$ :

$\displaystyle 20x+2 \geq 0\\20x \geq -2\\x \geq -\frac{2}{20} \\x \geq -\frac{1}{10}$

On obtient le tableau suivant:

x -∞ $\displaystyle -\frac{1}{10}$ +∞

f'(x) - Ф +

f(x) (décroissante) (croissante)

Au vu du tableau précédent, le minimum de f est atteint en $\displaystyle x=-\frac{1}{10}$ , et le positionnement du point M sur la droite (d), telle que la distance AM soit minimale est $\displaystyle M\left(-\frac{1}{10}; 3 \times \left(-\frac{1}{10}\right)+4 \right)$ .

Calculons l'image de M dans ce cas:

$\displaystyle 3 \times \left(-\frac{1}{10}\right)+4=-\frac{3}{10}+4=\frac{-3+40}{10}=\frac{37}{10}$

Donc la distance AM est minimale quand $\displaystyle M\left(-\frac{1}{10}; \frac{37}{10}\right)$ .

Et la distance AM correspondante est $\displaystyle f\left(-\frac{1}{10}\right)$ :

$\displaystyle f\left(-\frac{1}{10}\right)=\sqrt{10 \times \left(-\frac{1}{10}\right)^{2}+2 \times -\frac{1}{10}+5}=\sqrt{10 \times \frac{1}{100}-\frac{2}{10}+5}\\=\sqrt{\frac{1}{10}-\frac{2}{10}+5}=\sqrt{-\frac{1}{10}+5}=\sqrt{\frac{-1+50}{10}}=\sqrt{\frac{49}{10}}=\frac{7}{\sqrt{10}}=\frac{7\sqrt{10}}{10}$

Donc la distance AM minimale est égale à $\displaystyle \frac{7\sqrt{10}}{10}$ .

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