Réponse :

déterminer la hauteur d'un cylindre pour laquelle le volume de ce cylindre est maximal

tout d'abord, il faut déterminer le rayon r du cylindre

en utilisant le th.Thalès : (5 - h)/5 = r/2  ⇔ 5 x r = 2(5 - h)

⇔ r = 2(5 - h)/5  ⇔ r = 2 - (2/5) h

volume d'un cylindre  V = π r² x h  ⇔ V = π(2 - (2/5)h)² x h

⇔ V = π(4 - (8/5)h + (4/25) h²) x h

        = 4π h - (8/5)π h² + (4/25)π h³

calculons la dérivée V ' de V

V ' = 4π - (16/5)π h + (12/25)π h²  ⇔ V ' = π(0.48 h² - 3.2 h + 4)

on cherche maintenant la hauteur donnant un volume maximal

donc on écrit  V ' = 0 ⇔ 0.48 h² - 3.2 h + 4 = 0

Δ = 10.24 - 7.68 =  2.56 ⇒ √(2.56) = 1.6

h1 = (3.2 + 1.6)/0.96 = 5  cette valeur est exclus

h2 = (3.2 - 1.6)/0.96 = 1.66..67  ≈ 1.7

Explications étape par étape