Réponse :

1) déterminer la nature de ces suites

Un = 3(- 2)ⁿ

Un+1/Un = 3(- 2)ⁿ⁺¹/3(- 2)ⁿ = (-2)¹ x (- 2)ⁿ/(- 2)ⁿ = - 2  = q    c'est une suite géométrique de raison q = - 2 et de premier terme U0 = 3

Vn = (3n² - 3)/(2n+2)  + 1

Vn+1/Vn = [(3(n+1)² - 3)/(2(n+1) + 2)  + 1]/[(3n² - 3)/(2n+2)  + 1]

[(3(n+1)² - 3)/(2(n+1) + 2)  + 1] = [3(n² + 2n + 1) - 3]/(2(n+1) + 2)]  + 1

(3n² + 6n + 3 - 3)/(2n + 4)]  + 1 = [3n(n + 2)/2(n + 2)] + 1  = (3n/2) + 1 = (3n+2)/2

(3n² - 3)/(2n+2)  + 1  = (3n² - 3 + 2n + 2)/2(n+ 1) = (3n²+2n - 1)/2(n+1)

= (3n - 1)(n+1)/2(n+1) = (3 n - 1)/2

Vn+1/Vn = (3n+2)/(3n-1) ⇒ (Vn) n'est pas géométrique

Vn+1 - Vn = 3n +2)/2  - (3n - 1)/2 = 1/2(3n + 2 - 3n + 1) = 1/2(3) = 3/2

(Vn) est une suite arithmétique de raison r = 3/2 et de premier terme V0 = -3/2

Wn =  5/2⁻ⁿ = 5 x 2ⁿ

Wn+1/Wn = 5 x 2ⁿ⁺¹/5x2ⁿ = 2 x 2ⁿ/2ⁿ = 2 = q

c'est une suite géométrique de raison q = 2 et de premier terme U0 = 5

2) étudier la monotonie de ces trois suites

Un = 3(- 2)ⁿ  est une suite géométrique de raison q = - 2 et de premier terme U0 = 3

q = - 2 < 0  alors U0 = 3 > 0 ; U1 = - 6 < 0 ; U2 = 12 > ; ... donc la suite (Un) n'est pas monotone (ni croissante, ni décroissante)

Vn = [(3n² - 3)/(2n + 1)] + 1   c'est une suite arithmétique de raison r = 3/2 et de premier terme V0 = - 3/2

pour tout entier naturel n

Vn+1 - Vn = 3/2  ⇒ Vn+1 - Vn > 0 ⇒ (Vn) est strictement croissante  

Wn = 5/2⁻ⁿ  = 5 x 2ⁿ  

Wn+1/Wn = 5 x 2ⁿ⁺¹/5 x 2ⁿ = 2ⁿ⁺¹/2ⁿ = 2 x 2ⁿ/2ⁿ = 2

Wn+1/Wn = 2 > 1 ⇒ (Wn) est strictement croissante          

Explications étape par étape