Bonjour,
pouvez vous m'aide pour cette exercice de mon dm svp merci beaucoup :(
Logarithme Népérien Terminale S
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Logarithme Népérien Terminale S
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Voici quelques indications qui pourraient t'aider...a. Pour que la fonction f soit définie, il est indispensable que le logarithme népérien soit défini or, la fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; +infini[
Donc, f est définie si et seulement si la fraction (1+x) / (1-x) > 0
Un simple tableau de signes te permet de déterminer l'ensemble de définition ici.. A priori, sans calcul, ça doit faire ]-1 ; 1[... à vérifier.
b. Pour tout x de D, on a :
f(-x) = 1/2 ln((1-x) / (1+x))
et -f(x)= -1/2 ln ((1+x)/(1-x)) = 1/2 (-ln ((1+x)(1-x))) = 1/2 ln ((1-x)(1+x)) = f(-x)
car -ln x = ln (1/x) et diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
Du coup, les points M et M' sont symétriques par rapport à l'origine O du repère.
Démonstration : Pour cela, il suffit de prouver que O est le milieu de [MM'] pour tout x de D.
Soit A le milieu de [MM'] alors :
xA = (xM + xM')/2=(x - x)/2=0 et
yA=(yM + yM')/2 = (f(x)+f(-x))/2 = (f(x)-f(x))/2=0 donc A(0;0) c'est donc l'origine du repère.
c. Il te suffit de dériver f (qui est du type k ln(u) et se dérive en k u'/u ) puis d'étudier son signe et ensuite la limite...^^
d. Et enfin, par symétrie de centre 0, tu complètes les variations sur ]-1 ; 0] puis la limite en -1 et ensuite, tu peux faire ton tableau...
Voilà, maintenant, c'est à toi de jouer.^^
a) il faut (1+x)/(1-x) > 0 donc (1+x)(1-x) > 0 d' où -1 < x < +1
b) f(-x) = 0,5 Ln (1-x) - 0,5 Ln (1+x) = -f(x)
donc M et M' sont symétriques par rapport à l' origine du repère (0;0)
c et d) tableau de valeurs ET de variation :
x -0,99 -0,75 -0,5 -0,25 0 0,3 0,6 0,9
f '(x) 50 1 1,33 1,07 1 1,1 1,56 5,3
f(x) -2,65 -0,97 -0,55 -0,26 0 0,31 0,7 1,5
remarque : f '(x) est TOUJOURS positive sur l' intervalle d' étude ]-1;+1[
la fonction f est donc TOUJOURS croissante sur l' intervalle !
lim f(x) pour x tendant vers 1 = 0,5 Ln2 - 0,5 Ln(1-x)
= 0,35 - 0,5 * (-infini)
= 0,35 + infini
= +infini