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Voici quelques indications qui pourraient t'aider...

a. Pour que la fonction f soit définie, il est indispensable que le logarithme népérien soit défini or, la fonction logarithme népérien est définie sur ]0 ; +infini[

Donc, f est définie si et seulement si  la fraction (1+x) / (1-x)  > 0

Un simple tableau de signes te permet de déterminer l'ensemble de définition ici.. A priori, sans calcul, ça doit faire ]-1 ; 1[... à vérifier.

b. Pour tout x de D, on a :

f(-x) = 1/2 ln((1-x) / (1+x))

et -f(x)= -1/2 ln ((1+x)/(1-x)) = 1/2 (-ln ((1+x)(1-x))) = 1/2 ln ((1-x)(1+x)) = f(-x)

car -ln x = ln (1/x) et diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.

Du coup, les points M et M' sont symétriques par rapport à l'origine O du repère.
Démonstration : Pour cela, il suffit de prouver que O est le milieu de [MM'] pour tout x de D.
Soit A le milieu de [MM'] alors :
xA = (xM + xM')/2=(x - x)/2=0   et
yA=(yM + yM')/2 = (f(x)+f(-x))/2 = (f(x)-f(x))/2=0  donc A(0;0) c'est donc l'origine du repère.

c. Il te suffit de dériver f (qui est du type k ln(u) et se dérive en k u'/u ) puis d'étudier son signe et ensuite la limite...^^

d. Et enfin, par symétrie de centre 0, tu complètes les variations sur ]-1 ; 0] puis la limite en -1 et ensuite, tu peux faire ton tableau...


Voilà, maintenant, c'est à toi de jouer.^^

croisierfamily F(x) = 0,5 Ln (1+x) - 0,5 Ln (1-x)

a) il faut (1+x)/(1-x) > 0 donc (1+x)(1-x) > 0 d' où -1 < x < +1

b) f(-x) = 0,5 Ln (1-x) - 0,5 Ln (1+x) = -f(x)

     donc M et M' sont symétriques par rapport à l' origine du repère (0;0)

c et d) tableau de valeurs ET de variation :

    x    -0,99         -0,75         -0,5         -0,25         0         0,3         0,6         0,9
f '(x)     50               1           1,33         1,07          1         1,1       1,56         5,3
f(x)     -2,65        -0,97        -0,55        -0,26          0        0,31        0,7         1,5

remarque : f '(x) est TOUJOURS positive  sur l' intervalle d' étude ]-1;+1[
                  la fonction f est donc TOUJOURS croissante sur l' intervalle !
                  lim f(x) pour x tendant vers 1 = 0,5 Ln2 - 0,5 Ln(1-x)
                                                                 = 0,35 - 0,5 * (-infini)
                                                                 = 0,35 + infini
                                                                 = +infini