Réponse :

Bonjour

1) faux

Les conditions d'existence de l'équation sont : x² - 1 > 0

⇔ x ∈ ]-∞;-1[ ∪ ]1 ; +∞[

4x -1 > 0 ⇔ x > 1/4 ⇔ x ∈ ]1/4 ; + ∞[

Au final,x ∈ ]1 ; +∞[

Or -3/2 ∉ ]1 ; +∞[

ln(x²-1) + 2ln2 = ln(4x-1) ⇔ ln(x²-1) + ln4 = ln(4x-1)

⇔ ln[4(x²-1)] = ln(4x-1) ⇔ 4(x²-1) = 4x-1

⇔ 4x² - 4x -3 = 0

Δ = 16 -4×(-3)×4 = 64

x1 = (4 + 8)/8 = 3/2

x2 = (4-8)/8 = -1/2 ∉ ]1 ; +∞[

La seule solution est donc {3/2}

2) Vrai

G'(x) = x(lnx-1) + (x²/2)*(1/x) - x/2 = xlnx - x + x/2 - x/2 = xlnx -x = g(x)

3) Vrai

par croissance de l'intégrale

4) Faux

Un vecteur directeur de (AB) est AB(2 ; -1 ; -1)

Donc une équation paramétrique de (AB) est : x = 1 + 2t

                                                                              y = 1 - t

                                                                              z = -t

5) Faux

Un vecteur directeur de D est (2 ; 1 ; 3) et un vecteur directeur de (AB) est (2 ; -1 ; -1).Ces vecteurs ne sont pas colinéaires ,donc D et (AB) ne sont pas parallèles.

D : x = 2t                       AB : x = 1 + 2t

     y = 1 + t                            y = 1 - t

     z = -5 + 3t                        z = -t

Si D et (AB) sont sécantes,les coordonnées du point d'intersection vérifient les 2 équations

⇔ 2t = 2t +1           0 = 1                ⇔ impossible

    1 + t = 1 - t          t = 0

    -5 + 3t = -t         t = 5/4

D et (AB) ne sont pas sécantes

D et (AB) ne sont ni parallèles ni sécantes, elles sont donc non coplanaires.