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Réponse :

1/a
[tex]v(t)=50t e^{-0.25t}[/tex]
[tex]v'(t)=50t(-0.25)e^{-0.25t} + 50e^{-0.25t}[/tex]
[tex]v'(t)=-12.5te^{-0.25t} +50e^{-0.25t}[/tex]
[tex]v'(t)=12.5 * (-t)e^{0.25t} + 12.5*4e^{-0.25t}[/tex]

[tex]\text{ factorisons par 12.5 :}[/tex]
[tex]v'(t)=12.5e^{-0.25t}(-t+4)[/tex]    
[tex]v'(t)=12.5e^{-0.25t}(4-t)[/tex]

1/b Etudions séparement les quotients de la dérivée :

[tex]\forall{t} \in \mathbb{R} \text{ on a : }12.5e^{-0.25t} \geq 0[/tex]
[tex]4-t\leq 0 \iff 4\leq t[/tex]
Donc :
[tex]\forall{t}\in [0;4][/tex]  [tex]v'(t)\geq 0[/tex]
[tex]\forall t \in [4;30] \text{ } v'(t)\leq 0[/tex]
On a donc :
[tex]\forall{t}\in [0;4] \text{ }v(t) \text{ est croissante}\\\forall{t}\in [4;30] \text{ }v(t) \text{ est decroissante}[/tex]

1/c
[tex]v(4)=50*4*e^{-0.25*4}=50*4*e^{-1}+200*e^{-1} \approx 73.6 > 2[/tex]
[tex]v(30)=50*30*e^{-0.25*30}=1500e^{-7.5} \approx 0.8 < 2[/tex]
[tex]\text{ selon 1b on a v strictement decroissante sur } [4;30][/tex]
[tex]\text{Donc selon le theoreme des valeurs intermediaires, l'equation }v(\alpha)=2 \\\text{ admet une solution } \alpha[/tex]
En utilisant la calculatrice :
[tex]\alpha \approx 3.606[/tex]
2/a
On a vu que v(4) est le maximum de la fonction v selon 1b car la variation de f nous montre que f est croissante jusqu'a x=4 et puis decroissante sur [4;30] donc a la 4eme semaine, les ventes sont au maximum.

pour savoir le nombre de jeu vendu il faut faire une somme des ventes jours precedents :
[tex]\displaystyle \sum_{k=0}^{4} v(k) =v(0)+v(1)+v(2)+v(3)+v(4)[/tex]
[tex]=0 + 50e^{-0.25} +100e^{-0.5} +150e^{-0.75}+200e^{-1}[/tex]
[tex]\approx 255.86 \approx256[/tex]
Il ne faut pas oublier de multiplier par 100 :
[tex]256*100=256000[/tex] exemplaires vendus

2/b
Donc selon 1c/ la boutique devra arreter de vendre a partir de la 4eme semaine.

3a/ Faisons une integrale par partie :

u = t                   u' = 1
v' = [tex]e^{-0.25t}[/tex]          v = [tex]-4e^{-0.25t}[/tex]

Donc :

[tex]G(t)=t(-4)e^{-0.25t} -1* \int -4e^{-0.25t}dt[/tex]
[tex]G(t)= t(-4)e^{-0.25t}-1*(-4)*\int e^{-0.25t}dt[/tex]
[tex]G(t)=t(-4)e^{-0.25t}+4*\frac{1}{-0.25}e^{-0.25t}[/tex]
[tex]G(t)=-4te^{-0.25t}-16e^{-0.25t}[/tex]
CQFD

3b/
[tex]\frac{1}{25} \int_{0}^{25}50te^{-0.25t}dt[/tex]
[tex]= [\frac{1}{25}*(-4*25e^{-6.25}-16e^{-6.25}) ]\\-[\frac{1}{25}*(-4*0e^{0}-16e^{0})][/tex]
[tex]=\frac{1}{25} (-\frac{116\sqrt[4]{e^3} }{e^7}+16)[/tex]
[tex]=\frac{16}{25} -\frac{116\sqrt[4]{e^3} }{25e^7}[/tex]
[tex]\approx0.63[/tex]

3c/
Ce resultat correspond aux ventes moyens des 25 premiers jours.

NB : les résultats sont a vérifiés car tout a été fait de tête