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Bonjour,

Partie A

1) lim g(x) en +∞ = lim xeˣ = +∞

2) lim g(x) en -∞ = lim xeˣ - 2 = -2

car lim xeˣ en -∞ = 0  (théorème croissances comparées)

3) de la forme u x v avec u(x) = x + 2 et v(x) = eˣ⁻⁴

soit u'(x) = 1 et v'(x) = eˣ⁻⁴

g'(x) = (u'v + uv')(x) = eˣ⁻⁴ + (x + 2)eˣ⁻⁴ = (x + 3)eˣ⁻⁴

g'x) = 0 ⇒ x = -3

x      -∞              -3                 +∞

g'(x)           -        0        +

g(x)       décrois.      crois.

Avec g(-3) = -e⁻⁷ - 2 < -2  

On a donc :

. lim g(x) en -∞ = -2 et g décroissante sur ]-∞ ; -3[

⇒ g(x) = 0 n'a pas de solution sur cet intervalle.

. g(-3) < 0, lim g(x) en +∞ = +∞ et g croissante sur ]-3 ; +∞[

⇒ il existe une valeur unique α ∈ ]-3 ; +∞[ telle que g(α) = 0

Donc, sur R, g(x) = 0 a une unique solution α

5) on en déduit :

x      -∞                   α                    +∞

g(x)              -          0          +

Partie B

1) f(x) = 0

⇔ x²(1 - eˣ⁻⁴) = 0

⇒ x = 0 ou eˣ⁻⁴ = 1

⇔ x = 0 ou (x - 4) = ln(1) = 0

Soit x = 0 ou x = 4

2) f'(x) = -xg(x)

on a vu le signe de g(x) sur R : on en déduit le signe de f'(x) et les variations de f :

x      -∞                 0              α             +∞

-x                +        0       -              -

g(x)              -                 -       0     +

f'(x)              -         0      +      0      -

f(x)          décrois.      crois.        décrois.

3) D'après ce tableau, f atteint son maximum sur [0 ; +∞[ pour x = α.

Soit f(x) = f(α) = α² - α²e^(α - 4)

on sait que g(α) = 0

Soit : (α + 2)e^(α - 4) - 2 = 0

⇔ e^(α - 4) = 2/(α + 2)

et donc f(α) = α² - 2α²/(α + 2)

⇔ f(α) = [(α + 2)α² - 2α²]/(α + 2) = α³/(α + 2)