Réponse :

EX4

f(x) = (a x + b) + c/(x - 1) définie sur ]1 ; 5]

1) déterminer graphiquement

f(3) = 0.5 ; f(2) = 1 ; f '(2) = - 3/2

2) calculer f '(x) en fonction de a et c

f '(x) = a - (c/(x - 1)^2)

la dérivée de c/(x-1) est - c/(x-1)^2

3) en utilisant les questions 1 et 2 déterminer a, b et c

f(3) = 3 a + b + c/2 = 0.5

f(2) = 2 a + b + c = 1

f '(2) = a - c = - 3/2 d'où a = c - (3/2)

on obtient un système d'équation suivant

3 c + b + c/2 = 5 donc 7/2) c + b = 5

2 c + b + c = 4 x (- 1) 3 c + b = 4

........................

1/2) c = 1 d'où c = 2 et a = 2 - 3/2 = 1/2 ; b = 4 - 6 = - 2

Donc l'expression de f(x) = ((1/2) x - 2) + 2/(x - 1)

4) vérifie que f(x) = (x^2 - 5 x + 8)/2(x - 1)

f(x) = ((1/2) x - 2) + 2/(x - 1) = 1/2) x (x - 1)/(x - 1) - 4(x - 1)/2(x-1) + 4/2(x- 1)

= 1/2(x- 1)][x(x- 1) - 4(x - 1) + 4]

= (x^2 - x - 4 x + 4 + 4)/2(x-1)

= (x^2 - 5 x + 8)/2(x-1)

5) donner une équation de la tangente à C au point d'abscisse 3

l'équation de la tangente est : y = f(3) + f '(3)(x - 3)

f(3) = 0.5 = 1/2

f '(x) = 1/2) - 2/(x - 1)^2 donc f '(3) = 1/2) - 2/(3 - 1)^2 = 1/2 - 2/4 = 0

donc y = f(3) = 1/2 c'est une tangente horizontale // à l'axe des abscisses

Explications étape par étape

²²⇔⇔²²²