Réponse :

Explications étape par étape

ex2)

1) pour démontrer que F(x) est une primitive de f(x) on dérive F(x) et on voit si on retrouve f(x) et c'est le cas

F'(x)=2x(5/4-(1/2)lnx)-(1/2x)x²=5x/2-xlnx-x/2=2x-xlnx

F(x) est donc une primitive de f(x).

2)L'aire comprise entre la courbe l'axe des abscisses et les droites x=1 et x=7 est F(7)-F(1)

Mais avant de calculer ceci il faut s'assurer que la courbe représentative de f(x) n'a pas coupé l'axe des abscisses entre x=1 et x=7.

Pour cela on étudie f(x) sur [1; 7]

dérivée f'(x)=-lnx-x/x+2=1-lnx

f'(x)=0 pour x=e

tableau de signes de f'(x) et de variation de f(x)

x   1                             e                               7

f'(x)...........+....................0.....................-..............

f(x).2........croi................e.........décroi............+0,38

On sait donc que sur [1; 7] la courbe est toujours au dessus de l'axe des abscisses on peut donc calculer F(7)-F(1)=

aire=49(5/4-(1/2)ln7)-[1²(5/4)-(1/2)ln1]

or ln1=0

aire=48(5/4)-(49/2)ln7=60-24,5ln7 (valeur exacte en u.a.)

= 12,32 u.a(environ)

sachant que 1u.a=0,5cm² tu peux exprimer cette aire en cm²

(vérifie quand même  mes calculs .J'ai fait une représentation graphique cela me semble correct).