Réponse :

Explications étape par étape :

1) l'entreprise réalise quand R(x) - C(x) ≥ 0

On appelle B la fonction bénéfice en fonction de x.

B(x) = R(x) - C(x) = 7,9x - 5x² + 0,1x - 1,022

B(x) = -5x² + 8x - 1,022

On étudie le signe de B(x), polynôme du second degré.

Δ = 8² - 4 * (-5) * (-1,022) = 43,56

B(x) a 2 racines réelles distinctes :

x₁ = (-8 - √43,56) /(-10) = 1,46

x₂ = (-8 + √43,56)/(-10) = 0,14

B(x) ≥ 0 pour x ∈ [0,14 ; 1,46]

L'entreprise réalise des bénéfices pour une fabriction comprise entre 200 et 1000 étuis.

2)

La parabole représentant la fonction B a pour axe de symétrie la droite verticale d'équation x = (x₁ + x₂)/2 =(0,14 + 1,46)/2 = 0,8

La parabole est orientée vers le haut et le sommet de cette parabole a pour abscisse 0,8 et pour ordonnée B(0,8) = -5*0,8² + 8*0,8 - 1,022

B(0,8) = 2,178

Pour une fabrication de 800 étuis, l'entreprise réalise un bénéfice maximal égal à 2178 €.