Réponse :

1) démontrer que pour un triangle équilatéral MNP de côté  1 m  la hauteur vaut √(3)/2

soit  H le projeté de N sur (MP)  donc le triangle MNH est rectangle en H

 donc  d'après le th.Pythagore  on a;  MN² = NH²+MH²

⇔ NH² = MN² - MH²  ⇔ NH² = 1² - (1/2)² = 1 - 1/4 = 3/4

d'où  la hauteur  NH = √(3/4) = √(3)/2

2)  repère  (A ; vec(AB) ; vec(AD)

  A(0 ; 0)    B(1 ; 0)   C(1 ; 1)   D(0 ; 1)     E(1/2 ; √(3)/2)      F((√(3) + 2)/2 ; 1/2)

3)  vec(DE) = (1/2 ; √(3)/2  - 1) = (1/2 ;  (√(3) - 2)/2)

4)   vec(DF) = (1 + √(3)/2  ; 1/2  - 1) = ((√(3) + 2)/2 ; - 1/2)

5) existe t-il un réel  k  tel que  vec(DF) = k x vec(DE)

      vec(DF) =  ((√(3) + 2)/2 ; - 1/2) =  k(1/2 ;  ((√(3) - 2)/2)  

⇔ k/2 =  √(3) + 2)/2   ⇔ k = √(3) + 2

⇔ k(√(3) - 2)/2 = - 1/2 ⇔  k = - 1/(√(3) - 2)  = - (√(3) + 2)/(√(3) - 2)(√(3) + 2)

⇔  k = - (√(3) + 2)/(3 - 4) = √(3) + 2)

donc il existe un réel  k = √(3) + 2  tel que  vec(DF) = kvec(DE)

donc  les vecteurs DF et DE sont colinéaires

6)  les points  D; E et F  sont alignés

Explications étape par étape :