Bonsoir, besoin d'aide pour l'exercice ci-joint, merci d'avance.... Pergunta de ideia de0Marine

May 2019 1 174 Report

Bonsoir, besoin d'aide pour l'exercice ci-joint, merci d'avance

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Commentaires (2) Bonjour 0Marine

$u_n=\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}\ \ (n\ge1)$

1) Il est clair que 0 est un minorant pour cette suite.

2) Croissance de la suite (Un)

$u_{n+1}-u_n=[\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{1}{(n+1)^3}]-[\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}]\\\\\\=\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{1}{(n+1)^3}-\dfrac{1}{1^3}-\dfrac{1}{2^3}-...-\dfrac{1}{n^3}\\\\\\=\dfrac{1}{1^3}-\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}-\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}-\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\\\\\\=\dfrac{1}{(n+1)^3}\ \textgreater \ 0\\\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}-u_n\ \textgreater \ 0}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\ \textgreater \ u_n}$

Par conséquent, la suite (Un) est croissante.

3) Montrons que pour tout entier naturel n ≥ 1, on a : $u_n\le2-\dfrac{1}{n}$

Soit P(n) la relation : $u_n\le2-\dfrac{1}{n}$

a) Initialisation.

Si n = 1, alors

$u_1=\dfrac{1}{1^3}=1=2-\dfrac{1}{1}\Longrightarrow\boxed{u_1=2-\dfrac{1}{1}}$

Donc P(1) est vraie

b) Hérédité

Si P(n) est vraie pour un entier naturel n fixé, alors montrons que P(n+1) est vraie.

Supposons donc que $u_{n}\le2-\dfrac{1}{n}$

Montrons que $u_{n+1}\le2-\dfrac{1}{n+1}$

En effet :

$u_{n+1}=\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\\\\u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{(n+1)^3}\\\\u_{n+1}\le2-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\ \ \ car\ \ P(n)\ est\ vraie$

Or $-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\le-\dfrac{1}{n+1}$

En effet,

$-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\le-\dfrac{1}{n+1}\\\\\\\Longleftrightarrow\dfrac{1}{(n+1)^3}\le\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\\\\\\\Longleftrightarrow\dfrac{1}{(n+1)^3}\le\dfrac{(n+1)-n}{n(n+1)}\\\\\\\Longleftrightarrow\dfrac{1}{(n+1)^3}\le\dfrac{1}{n(n+1)}\\\\\\\Longleftrightarrow(n+1)^3}\ge n(n+1)\\\\\Longleftrightarrow(n+1)^2}\ge n\\\\\Longleftrightarrow n^2+2n+1\ge n\\\\\Longleftrightarrow n^2+n+1\ge0\ qui\ est\ vrai\ pour\ tout\ n\in\mathbb{N}$

Donc

$u_{n+1}\le2-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\le2-\dfrac{1}{n+1}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\le2-\dfrac{1}{n+1}}$

Par conséquent, l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, on en déduit donc que pour tout entier naturel n ≥ 1, on a : $u_n\le2-\dfrac{1}{n}$

$4)\ u_n\le2-\dfrac{1}{n}\le2\Longrightarrow\boxed{u_n\le2}$

La suite (Un) étant croissante et majorée par 2, cette suite (Un) est convergente.

$5)\ 0\le u_n\le2-\dfrac{1}{n}\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}0\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le\lim\limits_{n\to+\infty}[2-\dfrac{1}{n}]\\\\0\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le2-0\\\\\\\Longrightarrow\boxed{0\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le2}$

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0Marine merci beaucoup

Coucou, je dois faire une expression orale en anglais ou je présente un club (genre activité extra scolaire) , j'aurai juste besoin d'idée pour un club qui plaise at tout le monde, filles et garçons car a la fin, les élèves vont voter pour le meilleur.Merci d'avance.

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0Marine June 2021 | 0 Respostas

Vite SVP Voilà, je dois faire un dialogue en espagnol et je joue le role d'une personne qui a gagné au loto, je ne sais pas trop quoi dire et j'ai besoin de votre aide. merci d'avance

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0Marine June 2021 | 0 Respostas

Aidez moi s'il vous plaît La posologie du paracétamol est généralement de 10 mg par kg toutes les 4 heures. Quelle masse de paracétamol un enfant de 30kg peut il ingérer toutes les 4 heures ?

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0Marine January 2021 | 0 Respostas

Bonsoir, besoin d'aide pour ces exercices de trigonométrie, merci d'avance

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0Marine January 2021 | 0 Respostas

Bonsoir, je bloque sur l'exercice 7 ci joint, étant habituée à utiliser des vecteurs... Merci d'avance pour l'aide (exercice math sup)

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0Marine May 2019 | 0 Respostas

Bonsoir, j'aurai besoin d'aide pour les exercices suivants (pièce jointe) c'est pour m'entrainer sur les suites. Merci d'avance

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0Marine May 2019 | 0 Respostas

Bonsoir, Ci-joint un contrôle que je n'ai pas pu faire car j'étais malade, j'essaie de le refaire pour m'entrainer mais je n'y arrive pas ! j'apprécierai de l'aide même si ce n'est que quelques réponses. Merci d'avance

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0Marine April 2019 | 0 Respostas

Salut, J'aurai besoin d'aide pour calculer f'(2) avec la fonction suivante : f(x)=x(x-1). (j'utilise la méthode ) Merci d'avance

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0Marine April 2019 | 0 Respostas

Hello je dois préparer un "punchy speech" ("discours poignant") en anglais pour défendre mon association qui lutte contre le travail des enfants dans le monde. Pourriez-vous m'aider à trouver des tournures et phrases pour mon discours ? merci d'avance

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0Marine April 2019 | 0 Respostas

Bonjour, J'ai vraiment du mal à faire cet exercice (joint), pourriez- vous m'aider ? Merci d'avance

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Coucou, je dois faire une expression orale en anglais ou je présente un club (genre activité extra scolaire) , j'aurai juste besoin d'idée pour un club qui plaise at tout le monde, filles et garçons car a la fin, les élèves vont voter pour le meilleur.Merci d'avance.

Vite SVP Voilà, je dois faire un dialogue en espagnol et je joue le role d'une personne qui a gagné au loto, je ne sais pas trop quoi dire et j'ai besoin de votre aide. merci d'avance

Aidez moi s'il vous plaît La posologie du paracétamol est généralement de 10 mg par kg toutes les 4 heures. Quelle masse de paracétamol un enfant de 30kg peut il ingérer toutes les 4 heures ?

Bonsoir, besoin d'aide pour ces exercices de trigonométrie, merci d'avance

Bonsoir, je bloque sur l'exercice 7 ci joint, étant habituée à utiliser des vecteurs... Merci d'avance pour l'aide (exercice math sup)

Bonsoir, j'aurai besoin d'aide pour les exercices suivants (pièce jointe) c'est pour m'entrainer sur les suites. Merci d'avance

Bonsoir, Ci-joint un contrôle que je n'ai pas pu faire car j'étais malade, j'essaie de le refaire pour m'entrainer mais je n'y arrive pas ! j'apprécierai de l'aide même si ce n'est que quelques réponses. Merci d'avance

Salut, J'aurai besoin d'aide pour calculer f'(2) avec la fonction suivante : f(x)=x(x-1). (j'utilise la méthode ) Merci d'avance

Hello je dois préparer un "punchy speech" ("discours poignant") en anglais pour défendre mon association qui lutte contre le travail des enfants dans le monde. Pourriez-vous m'aider à trouver des tournures et phrases pour mon discours ? merci d'avance

Bonjour, J'ai vraiment du mal à faire cet exercice (joint), pourriez- vous m'aider ? Merci d'avance

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