Bonsoir, besoin d'aide pour l'exercice ci-joint, merci d'avance.... Pergunta de ideia de0Marine

May 2019 1 138 Report

Bonsoir, besoin d'aide pour l'exercice ci-joint, merci d'avance

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Commentaires (2) Bonjour 0Marine

$u_n=\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}\ \ (n\ge1)$

1) Il est clair que 0 est un minorant pour cette suite.

2) Croissance de la suite (Un)

$u_{n+1}-u_n=[\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{1}{(n+1)^3}]-[\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}]\\\\\\=\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{1}{(n+1)^3}-\dfrac{1}{1^3}-\dfrac{1}{2^3}-...-\dfrac{1}{n^3}\\\\\\=\dfrac{1}{1^3}-\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}-\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}-\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\\\\\\=\dfrac{1}{(n+1)^3}\ \textgreater \ 0\\\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}-u_n\ \textgreater \ 0}\\\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\ \textgreater \ u_n}$

Par conséquent, la suite (Un) est croissante.

3) Montrons que pour tout entier naturel n ≥ 1, on a : $u_n\le2-\dfrac{1}{n}$

Soit P(n) la relation : $u_n\le2-\dfrac{1}{n}$

a) Initialisation.

Si n = 1, alors

$u_1=\dfrac{1}{1^3}=1=2-\dfrac{1}{1}\Longrightarrow\boxed{u_1=2-\dfrac{1}{1}}$

Donc P(1) est vraie

b) Hérédité

Si P(n) est vraie pour un entier naturel n fixé, alors montrons que P(n+1) est vraie.

Supposons donc que $u_{n}\le2-\dfrac{1}{n}$

Montrons que $u_{n+1}\le2-\dfrac{1}{n+1}$

En effet :

$u_{n+1}=\dfrac{1}{1^3}+\dfrac{1}{2^3}+...+\dfrac{1}{n^3}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\\\\u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{(n+1)^3}\\\\u_{n+1}\le2-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\ \ \ car\ \ P(n)\ est\ vraie$

Or $-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\le-\dfrac{1}{n+1}$

En effet,

$-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\le-\dfrac{1}{n+1}\\\\\\\Longleftrightarrow\dfrac{1}{(n+1)^3}\le\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}\\\\\\\Longleftrightarrow\dfrac{1}{(n+1)^3}\le\dfrac{(n+1)-n}{n(n+1)}\\\\\\\Longleftrightarrow\dfrac{1}{(n+1)^3}\le\dfrac{1}{n(n+1)}\\\\\\\Longleftrightarrow(n+1)^3}\ge n(n+1)\\\\\Longleftrightarrow(n+1)^2}\ge n\\\\\Longleftrightarrow n^2+2n+1\ge n\\\\\Longleftrightarrow n^2+n+1\ge0\ qui\ est\ vrai\ pour\ tout\ n\in\mathbb{N}$

Donc

$u_{n+1}\le2-\dfrac{1}{n}+\dfrac{1}{(n+1)^3}\le2-\dfrac{1}{n+1}\\\\\Longrightarrow\boxed{u_{n+1}\le2-\dfrac{1}{n+1}}$

Par conséquent, l'hérédité est vraie.

Puisque l'initialisation et l'hérédité sont vraies, on en déduit donc que pour tout entier naturel n ≥ 1, on a : $u_n\le2-\dfrac{1}{n}$

$4)\ u_n\le2-\dfrac{1}{n}\le2\Longrightarrow\boxed{u_n\le2}$

La suite (Un) étant croissante et majorée par 2, cette suite (Un) est convergente.

$5)\ 0\le u_n\le2-\dfrac{1}{n}\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}0\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le\lim\limits_{n\to+\infty}[2-\dfrac{1}{n}]\\\\0\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le2-0\\\\\\\Longrightarrow\boxed{0\le\lim\limits_{n\to+\infty}u_n\le2}$

2 votes Thanks 1

0Marine merci beaucoup

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