Bonsoir est ce que quelqu'un pourrait m'aider à trouver la réponse s'il vous plaît. Merci d'avance (.... Pergunta de ideia deDevoir22

May 2019 1 14 Report

Bonsoir est ce que quelqu'un pourrait m'aider à trouver la réponse s'il vous plaît. Merci d'avance (niveau lycée)

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Commentaires (2) Bonjour Devoir22,

1) $d_1$ représente la longueur d'un demi-cercle de rayon 1.

Donc $d_1=\dfrac{1}{2}\times2\pi\times 1=\pi\Longrightarrow\boxed{d_1=\pi}$

$d_2$ représente la longueur d'un quart de cercle de rayon 1.

Donc $d_2=\dfrac{1}{4}\times2\pi\times 1=\dfrac{1}{2}\times\pi\Longrightarrow\boxed{d_2=\dfrac{\pi}{2}}$

2) a) La suite $(d_n)$ est une suite géométrique de raison 1/2 et dont le premier terme est $d_1=\pi$ .

En effet, quelle que soit l'étape, le robot parcourt la moitié de la distance parcourue à l'étape précédente.

$b)\ d_n=d_1\times q^{n-1}\Longrightarrow\boxed{d_n=\pi\times(\dfrac{1}{2})^{n-1}}$

3) a) $D_n$ est la somme des n premiers termes de la suite géométrique $(d_n)$

D'où

$D_n=d_1\times\dfrac{1-q^{n}}{1-q}\Longrightarrow D_n=\pi\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^{n}}{1-\dfrac{1}{2}}\\\\\\D_n=\pi\times\dfrac{1-(\dfrac{1}{2})^{n}}{\dfrac{1}{2}}\\\\\\D_n=\pi\times[1-(\dfrac{1}{2})^{n}]\times\dfrac{2}{1}\\\\\Longrightarrow\boxed{D_n=2\pi\times[1-(\dfrac{1}{2})^{n}]}$

b) Nous savons que $\lim\limits_{n\to+\infty}(\dfrac{1}{2})^{n}=0\ \ car\ \ 0\ \textless \ \dfrac{1}{2}\ \textless \ 1$

Donc

$\lim\limits_{n\to+\infty}D_n=\lim\limits_{n\to+\infty}\left(2\pi\times[1-(\dfrac{1}{2})^{n}]\right)\\\\\lim\limits_{n\to+\infty}D_n=2\pi\times(1-0)\\\\\boxed{\lim\limits_{n\to+\infty}D_n=2\pi}$

Cela signifie que le robot va parcourir une distance se rapprochant d'un tour complet mais n'atteindra pas exactement ce tour complet.

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