Réponse :

1) exprimer l'aire totale des 5 faces (sans couvercle) en fonction de l et h

A = 2 * l * h + 2 * 1.2 * h + 1.2 * l

   = 2 l h + 2.4 h + 1.2 l

2) vérifier que l s'exprime en fonction de h par la relation l = 0.25/h

V = l * L * h = 0.3  ⇔  1.2 * l * h = 0.3 ⇔ l * h = 0.3/1.2 = 0.25 ⇔ l = 0.25/h

3) déduire des questions précédentes l'expression de la surface totale en fonction de la hauteur h

      A = 2* l* h + 2.4* h + 1.2* l ⇔ A = 2 * (0.25/h) * h + 2.4*h + 1.2*0.25/h

⇔ A = 0.50 + 2.4*h + 0.3/h

Partie B

soit la fonction f définie sur [0.2 ; 1] par  f(x) = 2.4 x + 0.5 + (0.3/x)

1) déterminer f '(x) dérivée de f

    f '(x) = 2.4 - (0.3/x²)

2) on admet que poser f '(x) = 0 se ramène à résoudre : 8 x² - 1 = 0

Résoudre cette équation dans l'intervalle [0.2 ; 1]  (donner le résultat au centième)

8 x² - 1 = 0 ⇔ x² = 1/8 ⇔ x = - √(1/8) ∉ [0.2 ; 1] donc ne convient pas

                                        ou x = √(1/8) = 1/2√2 = √2/4 ≈ 0.354

3) établir le tableau de variation de f

x      0.2                              0.354                          1

f(x)   2.48→→→→→→→→→→→→ 2.004 →→→→→→→→→→  3.2

                décroissante                  croissante

4) la fonction admet-elle un minimum ? si oui lequel

c'est oui , f admet un minimum = 2.004  atteint en x = 0.354

Partie C

déduire des résultats obtenus dans les questions précédentes la hauteur et la largeur de la caisse pour utiliser un minimum de matières premières

h = 0.354 m  et  l = 0.25/0.354 ≈ 0.706 m  

Explications étape par étape