bonjour
a et b strictement positifs
1)
(I) a/b + b/a ≥ 2 <=> a²/ab + b²/ab ≥ 2
<=> a² + b² /ab ≥ 2
<=> a² + b² ≥ 2ab [ ab > 0 ]
<=> a² - 2ab + b² ≥ 0
<=> (a - b)² ≥ 0 (II)
il y a équivalence : (II) est vrai d'où (I) est vrai
2)
des nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre
si a < b alors √a < √b ; si a < b alors √a < √b
alors √a√a < √a√b ; alors √a√b < √b√b
alors a < √ab ; alors √ab < b
si a < √ab et √ab < b alors a < √ab < b
3)
(III) 1/(a + b) < 1/a + 1/b <=> 1/(a + b) < (a + b)/ab
<=> ab < (a + b)²
<=> ab < a² + 2ab + b²
<=> 0 < a² + ab + b² (IV)
(IV) <=> (III)
(IV) est vrai, donc (III) est vrai
4)
√(a + b) < √a + √b <=> [√(a + b)]² < (√a + √b)²
<=> a + b < a + 2√(ab) + b
<=> 0 < 2√(ab)
vrai
Copyright © 2024 ELIBRARY.TIPS - All rights reserved.
Lista de comentários
Verified answer
bonjour
a et b strictement positifs
1)
(I) a/b + b/a ≥ 2 <=> a²/ab + b²/ab ≥ 2
<=> a² + b² /ab ≥ 2
<=> a² + b² ≥ 2ab [ ab > 0 ]
<=> a² - 2ab + b² ≥ 0
<=> (a - b)² ≥ 0 (II)
il y a équivalence : (II) est vrai d'où (I) est vrai
2)
des nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre
si a < b alors √a < √b ; si a < b alors √a < √b
alors √a√a < √a√b ; alors √a√b < √b√b
alors a < √ab ; alors √ab < b
si a < √ab et √ab < b alors a < √ab < b
3)
(III) 1/(a + b) < 1/a + 1/b <=> 1/(a + b) < (a + b)/ab
<=> ab < (a + b)²
<=> ab < a² + 2ab + b²
<=> 0 < a² + ab + b² (IV)
(IV) <=> (III)
(IV) est vrai, donc (III) est vrai
4)
√(a + b) < √a + √b <=> [√(a + b)]² < (√a + √b)²
<=> a + b < a + 2√(ab) + b
<=> 0 < 2√(ab)
vrai