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bonjour

                 a et b strictement positifs

 1)  

     (I)     a/b + b/a ≥ 2   <=>   a²/ab + b²/ab ≥ 2

                                     <=> a² + b² /ab ≥ 2

                                     <=> a² + b² ≥ 2ab                  [  ab > 0 ]

                                     <=> a² - 2ab + b² ≥ 0

                                     <=>  (a - b)² ≥ 0    (II)

il y a équivalence : (II) est vrai  d'où (I) est vrai

2)

 des nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre

 si a < b  alors  √a < √b                ;      si a < b   alors √a < √b

              alors   √a√a < √a√b      ;                     alors √a√b < √b√b

              alors        a   < √ab         ;                      alors √ab < b

si a < √ab   et   √ab < b    alors     a < √ab < b

3)

      (III)      1/(a + b) < 1/a + 1/b  <=>  1/(a + b) < (a + b)/ab

                                                <=>  ab < (a + b)²

                                                <=>  ab < a² + 2ab + b²

                                                <=>  0 < a² + ab + b²    (IV)

 (IV)  <=>  (III)

       (IV)  est vrai, donc  (III) est vrai

4)

 √(a + b) < √a + √b   <=>   [√(a + b)]² < (√a + √b)²

                                  <=>       a + b < a + 2√(ab) + b

                                  <=>          0 < 2√(ab)

                                                      vrai