Réponse :
1) a² + b² = 2 ⇔ a² + b² + 2ab = 2 + 2ab ⇔ (a + b)² = 2 + 2ab
⇔ 1² = 2 + 2ab ⇔ - 1 = 2 ab donc a x b = - 1/2
les deux à la fois c'est à dire a et b ne peuvent pas être des entiers relatifs mais on peut avoir a ou b entier relatif
b) a + b = 1 ⇔ (1 +√3)/2 + (1 - √3)/2 = (1 + √3 + 1 - √3)/2 = 2/2 = 1
a² + b² = 2 ⇔ ((1+√3)/2)² + ((1 - √3)/2)²
a² + b² = (1+2√3 + 3)/4 + (1 - 2√3 + 3)/4
= (4 + 2√3 + 4 - 2√3)/4
= 8/4
= 2
Donc les deux conditions sont vérifiées avec a = (1+√3)/2 et b=(1-√3)/2
Explications étape par étape :
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1) a² + b² = 2 ⇔ a² + b² + 2ab = 2 + 2ab ⇔ (a + b)² = 2 + 2ab
⇔ 1² = 2 + 2ab ⇔ - 1 = 2 ab donc a x b = - 1/2
les deux à la fois c'est à dire a et b ne peuvent pas être des entiers relatifs mais on peut avoir a ou b entier relatif
b) a + b = 1 ⇔ (1 +√3)/2 + (1 - √3)/2 = (1 + √3 + 1 - √3)/2 = 2/2 = 1
a² + b² = 2 ⇔ ((1+√3)/2)² + ((1 - √3)/2)²
a² + b² = (1+2√3 + 3)/4 + (1 - 2√3 + 3)/4
= (4 + 2√3 + 4 - 2√3)/4
= 8/4
= 2
Donc les deux conditions sont vérifiées avec a = (1+√3)/2 et b=(1-√3)/2
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