Réponse :

f(x)=e^2x -2e^x -3  sur R

Explications étape par étape

1a)limite en -oo

si x tend vers -oo, e^2x tend vers 0 et -2e^x tend vers 0 donc f(x) tend vers -3

la droite y=-3 est une asymptote horizontale

1b ) limite en +oo

f(x)=e^2x(1-2e^x/e^2x-3/e^2x)

si x tend vers+oo, -2e^x/e^2x=2-/e^x cette expression tend vers0 tout comme 3/e^2x   donc f(x) tend vers +oo

2a) Dérivée   f'(x)=2e^2x-2e^x=(2e^x) (e^x -1)

f'(x) =0 si e^x-1=0   soit pour x=0

2b)Tableau de signes de f'(x) et de variations de f(x)

x    -oo                                 0                                   +oo

f'(x)...............-.............................0..................+.......................

f(x)  -3........décroi...................-4..................croi.................+oo

f(0)=1-2-3=-4

3) On regardant le tableau ci dessus on note que f(x)=0 admet une et une seule solution comprise entre 0 et +oo (TVI)

Résolution par le calcul

Posons  e^x=X et résolvons X²-2X-3=0 ceci car e^2x=(e^x)²

delta=16

solutions: X1=(2-4)2=-2  et X2=(2+4)/2=3

e^x=-2 impossible

e^x=3  soit x=ln3

l'unique solution de f(x)=0 est donc x=ln3