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Pourquoi peut-on affirmer que x³ =5 ne peut admettre plus d'une solution?
Merci d'avance de vos réponses
Pourquoi peut-on affirmer que x³ =5 ne peut admettre plus d'une solution?
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première méthode :supposons que x³ =5 admette plus d'une solution
( donc au moins deux:x et y)
on pourrait alors écrire
x³ =5= y³
donc
x³ =y³
puis
x³ - y³ = 0
ou
x³ - y³ =(x-y)(x²+xy+y²)=0 on aurait alors x - y = 0 c'est à dire x = y
ou x² +xy + y² = 0
mais x² +xy + y² =(x +1/2y)² -(1/2y)² + y² = (x+1/2y)² + 3/4y² ce qui n'est jamais égal à 0
conclusion
on reste avec x =y il n'y peut avoir plus d'une solution
deuxième méthode
soit f la fonction telle que f(x)=x³
f'(x)=3x² positif donc f est croissante sur IR et en particulier sur [ 1;2]
or f(1)=1 f(2)=8 et 5 ∈[1;8] donc (théorème) il existe un unique antécédent à 5 dans l'intervalle [1;2] ce qui revient à dire que l'équation
f(x)=5 admet une solution unique
f(x)=x³ -5 revient à chercher f(x)=0
or f est bijective de IR vers IR
donc f(x)=0 ne possède qu'une solution unique d'après le th des valeurs intermédiaires