Réponse :

1) développer et réduire A(x)

A(x) = (4 x + 1)² - (6 x - 11)²

penser aux identités remarquables (a - b)² = a² - 2ab+b² et (a+b)² = a²+2ab+b²

A(x) = (4 x + 1)² - (6 x - 11)² = 16 x² + 8 x + 1 - (36 x² - 132 x + 121)

      = 16 x²+ 8 x + 1 - 36 x² + 132 x - 121

      = - 20 x² + 140 x - 120

2) factoriser A(x)

A(x) = (4 x + 1)² - (6 x - 11)²

penser à une identité remarquable  a² - b² = (a+b)(a-b)

A(x) = (4 x + 1)² - (6 x - 11)² = (4 x + 1 + 6 x - 11)(4 x + 1 - 6 x + 11)

      = (10 x - 10)(- 2 x + 12)

      = 20( x - 1)((- x + 6)

3) démontrer que A(x) = - 20(x - 7/2)² + 125

La forme canonique de A(x) = a(x - α)²+ β

a = - 20

α = - 140/- 40 = 7/2

β = f(7/2) = - 20(7/2)²+ 140(7/2) - 120

              = - 245 + 490 - 120 = 125

Donc  A(x) = - 20(x - 7/2)²+ 125

4)  a) A(x) = 0 =  20( x - 1)((- x + 6)    donc  x = 1 ou x = 6

    b) A(x) = - 120 =  - 20 x² + 140 x - 120 ⇔ - 20 x² + 140 x = 0

⇔ 20 x( - x + 7) = 0  ⇔ x = 0 ou x = 7

    c) A(x) = 45 = - 20(x - 7/2)² + 125  ⇔ - 20(x - 7/2)² + 80 = 0

⇔ - 20((x - 7/2)² - 4) = 0  ⇔ (x - 7/2)² - 4 = (x - 7/2 + 2)(x - 7/2 - 2) = 0

⇔ (x - 3/2)(x - 11/2) = 0 ⇔ x = 3/2 ou x = 11/2

d) A(x) = - 20 x² = - 20 x² + 140 x - 120 ⇔ 140 x - 120 = 0 ⇔ x = 120/140 = 6/7

Explications étape par étape