Réponse :

1) montrer que l'aire A(x) en m², de la piscine vaut A(x) = - x² - 5 x + 60

pour tout réel x dans l'intervalle  ]0 ; 2.5[

A(x) = 12 * 5 - ((1/2) x² + (1/2) x² + 5 x)

      = 60 - (x² + 5 x)

      = - x² - 5 x + 60

2) démontrer que A(x) = - (x + 5/2)² + 265/4

A(x) = - x² - 5 x + 60

la forme canonique de A(x) = a(x - α)²+ β

avec  a = - 1

α = - b/2a = 5/- 2 = - 5/2

β = f(α) =f(- 5/2) = - (-5/2)² - 5(-5/2) + 60 = - 25/4 + 25/2 + 60

                         = - 25/4 + 50/4 + 240/4 = 25/4 + 240/4 = 265/4

donc  A(x) = - (x+5/2)²+ 265/4  

3) a) montrer que l'équation A(x) = 50.25 équivaut à  (x + 5/2)² - 16 = 0

A(x) = - (x+5/2)²+ 265/4 = 50.25 ⇔ A(x) = - (x+5/2)²+ 265/4 - 50.25 = 0

⇔   A(x) = - (x+5/2)²+ 265/4 - 201/4 = 0

⇔  A(x) = - (x+5/2)²+ 64/4 = 0 ⇔  A(x) = - (x+5/2)²+ 16 = 0

⇔  - [(x+5/2)²- 16] = 0 ⇔ (x+5/2)²- 16 = 0

     b) résoudre cette équation

         (x+5/2)²- 16 = 0 ⇔ (x+5/2)²- 4² = 0  identité remarquable

a²-b² = (a+b)(a-b)

(x+5/2)²- 4² = (x + 5/2 + 4)(x+5/2 - 4) = 0 ⇔ (x +13/2)(x - 3/2) = 0

⇔ x + 13/2 = 0 ⇔ x = - 13/2 ∉ ]0 ; 2.5[  

ou  x - 3/2 = 0 ⇔ x = 3/2 = 1.5 ∈ ]0 ; 2.5[

3) en déduire les dimensions de la piscine pour que la surface soit égale à 50.25 m²

x = 1.5 m

L = 12 - 3 = 9 m

ld = 5 m

lg = 5 - 3 = 2 m

Ctronqué² =1.5²+ 1.5² = 2* 1.5²   ⇔ Ctronqué = 1.5√2 ≈ 2.1 m

Explicationse par étape