Réponse :

Explications étape par étape :

■ f(x) = (1 + Lnx) / x²   sur IR+* = IR+ - { 0 }

■ Lim f(x) pour x tendant vers 0+ :

  Lim f(x) = Lim Lnx = - ∞ .

■ Lim f(x) pour x tendant vers + ∞ :

  Lim f(x) = 0+ .

■ dérivée f ' (x) :

   f ' (x) = [ x² * (1/x) - (1 + Lnx) * (2x) ] / (x^4)

            = [ x  - 2x - 2x Lnx ] / (x^4)

            = [ - x - 2x Lnx ] / (x^4)

            = [ - 1 - 2 Lnx ] / x³ .

    cette dérivée est nulle pour Lnx = -0,5

                                                        x = e^(-0,5) ≈ 0,61 .

■ tableau :

   x -->   0        e^(-1)   0,61     1      e        10          1000         + ∞

f ' (x) --> ║           +        0                 négative

 f(x) -->  ║- ∞      0     1,36       1    0,27   0,03   0,000008     0+

■ point d' intersection UNIQUE avec l' axe des abscisses :

   il suffit de résoudre Lnx = -1

                                         x = e^(-1) ≈ 0,37 .

   Le point d' intersection est donc J ( e^(-1) ; 0 ) .

■ conclusion :

  f(x) est strictement POSITIVE pour x > e^(-1) .

   f(x) est strictement négative pour x ∈ ] 0 ; e^(-1) [ .