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Réponse :

c' est en 2010 + 28 = 2038 qu' on aura 200 000 hab

Explications étape par étape :

■ f(x) = a / ( 1 + b exp(-0,05x) )

■ la Limite de 300 000 habitants donne a = 300 000 .

■ f(0) = 300 000 / ( 1 + b ) = 100 000 donne b = 2 .

■ on a donc f(x) = 300 000 / ( 1 + 2 exp(-0,05x) ) .

■ dérivons :

f ' (x) = - 300 000 * 2 * (-0,05) * exp(-0,05x) / (1+2exp(-0,05x))²

       = 30 000 * exp(-0,05x) / (1+2exp(-0,05x))²

       toujours positive ! --> Population toujours croissante .

■ résolvons : 300000/(1+2exp(-0,05x)) = 200000

                                      1+2exp(-0,05x) = 1,5

                                         2exp(-0,05x) = 0,5

                                            exp(-0,05x) = 0,25

                                                   -0,05x = Ln0,25

                                                   -0,05x ≈ -1,3863

                                                            x ≈ 27,7

   on va retenir x = 28 .

■ conclusion :

   c' est en 2010 + 28 = 2038 qu' on aura 200 000 hab !

■ vérif : f(28) = 300000/(1+2exp(-1,4)) = 300000/1,4932

                     ≈ 200912 habitants !