a) pour x <0 f est composée et fraction de fonctions continues donc elle est continue, de même pour x>0
f(0)=1
il s'agit de montrer que la limite de f(x) quand x tend vers 0 existe et est bien égal à f(0)=1
la limite à gauche en 0 est la limite, si elle existe, de
Nous devons avoir a = 1
La limte à droite en 0 est la limite de
pour a = 1 la limite de f en 0 à gauche est égale à la limite de f en 0 à droite qui est aussi égale à f(0)
En conclusion, f est continue sur IR pour (a,b) tel que a=1, b quelconque
2)
notons
Donc avec la regle de l'Hopital la limite est 0
c)
f est dérivable sur x < 0 et
Mais bon on peut prendre a = 1 car si a est différent de 1, f n'est même pas continue donc encore moins dérviable et la limite de f'(x) quand x tend vers 0 est alors la limite du b) qui est 0
nous devons avoir f'(0)=0
f est dérivable sur x > 0 et
pour avoir b-1=0 cela donne b=1
donc le couple recherché est (1,1) tel que f est de classe C1, car sa dérivée existe sur IR et est continue
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Bjr,
a) pour x <0 f est composée et fraction de fonctions continues donc elle est continue, de même pour x>0
f(0)=1
il s'agit de montrer que la limite de f(x) quand x tend vers 0 existe et est bien égal à f(0)=1
la limite à gauche en 0 est la limite, si elle existe, de
Nous devons avoir a = 1
La limte à droite en 0 est la limite de
pour a = 1 la limite de f en 0 à gauche est égale à la limite de f en 0 à droite qui est aussi égale à f(0)
En conclusion, f est continue sur IR pour (a,b) tel que a=1, b quelconque
2)
notons
Donc avec la regle de l'Hopital la limite est 0
c)
f est dérivable sur x < 0 et
Mais bon on peut prendre a = 1 car si a est différent de 1, f n'est même pas continue donc encore moins dérviable et la limite de f'(x) quand x tend vers 0 est alors la limite du b) qui est 0
nous devons avoir f'(0)=0
f est dérivable sur x > 0 et
pour avoir b-1=0 cela donne b=1
donc le couple recherché est (1,1) tel que f est de classe C1, car sa dérivée existe sur IR et est continue
Merci