Bonjour,

Plus difficile que l'exercice précédent

[tex]g(x) = \frac{ln(x)+1}{ln(x)-1}[/tex]

[tex]\lim_{x\to 0} g(x) = 1[/tex]

[tex]\lim_{x \to e^-}g(x) =- \infty[/tex]

[tex]\lim_{x \to e^+}g(x) =+ \infty[/tex]

[tex]\lim_{x \to +\infty} g(x) = 1[/tex]

Rappel de cours :

[tex](\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^2}[/tex]

Avec u = ln(x) + 1      u' = 1/x

        v = ln(x) - 1        v' = 1/x

[tex]g'(x)=\frac{\frac{1}{x} \times(ln(x)-1)-(ln(x)+1)\times\frac{1}{x} }{(ln-1)^2}[/tex]

Tu développes l'expression et tu dois retrouver

[tex]g'(x)=-\frac{2}{x(ln(x)-1)^2}[/tex]

On regarde les valeurs interdites :

x(ln(x) - 1)² = 0 ⇒ S = {0 ; e}

Tableau de signe et de variation :

x              |0           e                +∞

-2            |       -              -

x              0       +               +

(ln(x)-1)²   |       +       0       +

g'(x)         ║       -        ║       -

g(x)         | 1     ↓    -∞       +∞   ↓  1

Vérification graphique en pièce jointe