bjr

g(x) = 2x³ - 7x² + x + 10

a)

g(2) = 2*8 - 7*4 + 2 + 10

      = 16 - 28 + 12

      28 - 28 = 0

g(2) = 0

b)

2 est une racine du polynôme

ce polynôme est de degré 3 il se factorise sous la forme

(x - 2) (ax² + bx + c) (1)

il faut développer (1) et identifier les coefficients de ce développement

avec ceux de   2x³ - 7x² + x + 10 (2)

• dans le développement de (1) le terme en x³ est

 x * ax² = ax³

dans (2) on a 2x³   d'où a = 2

• dans le développement de (1) le terme constant est

-2* c = -2c

dans (2) c'est 10

-2c = 10  ; c = -5

(1) s'écrit : (x - 2) (2x² + bx -5)

il reste à calculer b

(x - 2) (2x² + bx - 5) = 2x³ + bx² -5x -4x² -2bx + 10

                                   2x³ + (b - 4)x² + (-5 -2b)x + 10

dans (2) le coefficient de x² est  -7      :   b - 4 = -7

                            "           x est  1 : -5 - 2b = 1

on choisit l'une des deux équations

b - 4 = -7  ; b = -7 + 4  ;  b = -3

(on peut vérifier les calculs en utilisant la seconde)

-5 - 2b = 1

-5 - 1 = 2b

-6 = 2b

b = -3

d'où la factorisation

2x³ - 7x² + x + 10 = (x - 2)(2x² - 3x - 5)

c)

g(x) = 0 <=> (x - 2)(2x² -3x - 5) = 0

            <=>  (x - 2) = 0     ou     (2x² - 3x - 5) = 0

• x - 2 = 0         ou       •2x² - 3x - 5 = 0

x = 2                                 2(-1)² - 3(-1) - 5 = 2 + 3 - 5 = 0

une racine 2                      -1 est une racine évidente      x1 = -1

                                        le produit des racines est c/a

                                          x1 * x2 = -5/2

                                         (-1) * x2 = -5/2

                                             x2 = 5/2

                                               deux racines -1 et 5/2

l'équation g(x) = 0 a trois solutions :  2  :  -1  ;  5/2

S = {-1 ; 2 ; 5/2}