f(x) = ax² + bx + c     a ≠ 0     (on veut déterminer a, b et c)

forme canonique

f(x) = a(x - α)² + β      ou  α et β sont les coordonnées du sommet

une équation de la parabole est :

(1) y = ax² + bx + c

l'abscisse du sommet est -b/2a

a)

S(2 ; 3)     A(0 ; -1)

quand on connaît les coordonnées du somme on utilise la forme canonique  

f(x) =  a(x - α)² + β

on remplace α et β par les coordonnées de S

f(x) = a(x - 2)² + 3

équation de la parabole

y =  a(x - 2)² + 3

on écrit que la point A(0;-1) est une solution de cette équation

-1 = a(-2)² + 3     ;    -1 = 4a + 3    ;    4a = -4   ; a = -1

d'où la fonction

f(x) = a(x - 2)² + 3

f(x) = -(x²-4x + 4) + 3

f(x) = -x² + 4x -1

b)

A(-2;0)  B(1;0)  C(0;2)    

on utilise l'équation de la parabole

y = ax² + bx + c

A est sur P :   0 = 4a -2b + c (2)

B est sur P :   0 = a + b + c (3)

C est sur P :   2 = c

on remplace c par 2 dans (2) et (3)

on obtient un système de deux équations à deux inconnues

4a - 2b + 2 = 0      et      a + b + 2 = 0  (on divise par 2 les deux membres de  la                première équation)

2a - b + 1 = 0         et      a + b + 2 = 0    (on additionne membre à membre)

3a + 3 = 0 d'où a = -1  (on calcule b dans la deuxième équation)

b = -1

réponse : f(x) = -x² -x + 2

3)

O(0;0)   A(3;1)

l'axe de symétrie passe par (1;0)  le sommet se trouve sur l'axe de symétrie et a donc pour abscisse 1  S(1;y)  

y = ax² + bx + c

P passe par l'origine (0;0) :   c = 0

y = ax² = bx

P passe par le point A(3;1) : 9a + 3b = 1

l'abscisse du sommet est 1, or cette abscisse vaut -b/2a  (-b/2a = 1)

d'où le système  9a + 3b = 1  et  b = -2a

on remplace 3b par -2a dans la première équation

9a - 6a = 1  ;   3a = 1    ;   a = 1/3  (et b = -2/3)

f(x) = 1/3x² -2/3x  

(ils on fait une erreur en appelant A deux points différents)