Réponse :

Bonjour, comme promis je reviens sur ton exercice.

Explications étape par étape

f(x)=x³/(x²-4)

1)domaine de définition Df=R-{-2;+2}  car la division par 0 est impossible.

2) limites aux bornes du Df

si x tend vers -oo f(x) tend vers-oo

si x tend vers +oo f(x) tend vers+oo

si x tend vers-2(avec x<-2), f(x) tend vers -8/0+=-oo

si x tend vers -2 (avecx>-2) , f(x) tend vers -8/0-=+oo

si x tend vers+2 (avec x<2) , f(x) tend vers 8/0-=-oo

si x tend vers +2 (avec x>2), f(x)  tend vers 8/0+=+oo

3) Dérivée f(x) est de la forme u/v sa dérivée est donc f'(x)=(u'v-v'u)/v²

f'(x)=[3x²(x²-4)-2x(x³)]/(x²-4)²=(x^4-12x²)/(x²-4)²=x²(x²-12)/(x²-4)

le signe de cette dérivée dépend uniquement du signe de x²-12 les deux autres étant des carrés

f'(x)=0 pour x1=0 et pour x2=-2rac3 et x3=+2rac3

4)Avec tout ceci on dresse la tableau de signes de f'(x) et de variation de f(x)

x  -oo.............-2V3..............-2.............. 0.................+2...............+2V3...................oo

f'(x).........+..........0........-.........II........-...... 0.....-...........II.......-.............0...........+...........

f(x)-oo.....c.....f(x2)...d....-ooII+oo....d....0.....d...-ooII+oo...d........f(x3).....c........+oo

f(x2)= -3V3   f(x3)=3V3; f(0)=0

c=croissante et d=décroissante.

Sur l'intervalle ]-2; +2[ f(x) est décroissant. Pour x=0 on a f'(0)=0 tangente horizontale  et f(0)=0 ce n'est pas un extremum local mais un point d'inflexion.

5) D'après notre tableau de variation f(x)=3V3  a deux solutions

a)  une "alpha" d'après le TVI  sur l'intervalle ]-2;+2[

b)  une "béta"=2V3 car f(2V3)=3V3 qui le minimum local sur ]+2;+oo[

pour déterminer alpha il faut le faire par encadrement avec ta calculatrice

pour moi -1,74<alpha<-1,73 (vérifie).

On note aussi que:

*la droite d'équation y=x est une asymptote oblique en -oo et+oo

*les droites  d'équation x=-2 et x=2 sont de asymptotes verticales

J'espère t'avoir apporté une petite aide.